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Integration unendlicher Reihen von Funktionen

Integration unendlicher Reihen von Funktionen

Bei einer endlichen Reihe von über das Intervall [ a , b ] integrierbaren Funktionen f n ( x ) , i = 1 , 2 , , N ist die gliedweise Integration immer möglich:

a b n = 1 N f n ( x ) d x = n = 1 N a b f n ( x ) d x .

Das heißt, man kann die Reihenfolge der Operationen von Integration und Summation vertauschen. Dies ist eine Verallgemeinerung der Summenregel.

Für eine unendliche Reihe gilt die Behauptung (gliedweise Integration)

a b n = 1 f n ( x ) d x = n = 1 a b f n ( x ) d x

nur dann, wenn die Funktionenreihe im Intervall [ a , b ] gleichmäßig konvergiert und die f n ( x ) in [ a , b ] integrierbar sind. ist zu der aus Grenzwerten und Partialsummen bestehenden Behauptung

a b lim N n = 1 N f n ( x ) d x = lim N a b n = 1 N f n ( x ) d x

äquivalent. Als Gegenbeispiel betrachten wir die im Intervall [ 0 , 1 ] definierte Partialsumme einer Funktionenreihe:

n = 1 N f n ( x ) = 0 0 x 1 / N N 1 / N < x < 2 / N 0 2 / N x 1

Es gilt

lim N n = 1 N f n ( x ) = 0 x

und

0 1 n = 1 N f n ( x ) d x = N x 1 / N 2 / N = 1.

Somit ist der Behauptung nicht genügt worden. Grund dafür ist, dass für alle x nicht gleichmäßig gegen 0 konvergiert.

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