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Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale: unbeschränkte Integranden

Neben den uneigentlichen Integralen mit einem unendlichen Integrationsintervall gibt es uneigentliche Integrale, bei denen die Integrandfunktion unendliche Unstetigkeitsstellen im endlichen Integrationsintervall besitzt.

Sei f ( x ) eine stetige Funktion für alle x [ a , b ] mit einer unendlichen Unstetigkeitsstelle bei x = b . Um das Integral von f ( x ) über das Intervall [ a , b ] zu definieren, führen wir zunächst folgende Integralfunktion ein:

I ( ɛ ) = a b - ɛ f ( x ) d x mit ɛ > 0.

Wir berechnen dann den Grenzwert von I ( ɛ ) für ɛ 0 und setzen ihn, falls er vorhanden ist, mit dem uneigentlichen Integral gleich:

a b f ( x ) d x = lim ɛ 0 I ( ɛ ) existiert konvergent existiert nicht divergent

Besitzt die Funktion f ( x ) eine unendliche Unstetigkeitsstelle bei x = a , wird das uneigentliche Integral über das Intervall [ a , b ] analog definiert:

a b f ( x ) d x = lim ɛ 0 a + ɛ b f ( x ) d x existiert konvergent existiert nicht divergent

Besitzt die Funktion f ( x ) in einem Zwischenpunkt x = c des Intervalls [ a , b ] eine unendliche Unstetigkeitsstelle, dann setzt man

a b f ( x ) d x = lim ɛ 0 a c - ɛ f ( x ) d x + lim ɛ 0 c + ɛ b f ( x ) d x .

Wenn mindestens ein Integral auf der rechten Seite divergent ist, dann ist auch das linke Integral divergent.

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