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Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale: unbeschränkte Integrationsintervalle

Bei der Definition des bestimmten Integrals als die auf einem endlichen Intervall [ a , b ] liegende Fläche

A = lim Δ x 0 i = 1 n f ( x i ) Δ x = a b f ( x ) d x , a x i b

ist der Fall eines unendlichen Integrationsintervalls nicht vorgesehen. Gemeint sind bestimmte Integrale der Form

a f ( x ) d x , - b f ( x ) d x , - f ( x ) d x .

Da diese so genannten uneigentlichen Integrale zunächst nicht definiert sind, gehen wir folgendermaßen vor. Wir beschränken uns zunächst auf Integrale vom Typ

a f ( x ) d x

und führen dabei die Integralfunktion I ( λ ) über das endliche Intervall [ a , λ ] ein:

I ( λ ) = a λ f ( x ) d x .

Wir berechnen dann den Grenzwert von I ( λ ) für λ und setzen ihn, falls er vorhanden ist, mit dem uneigentlichen Integral gleich:

a f ( x ) d x = lim λ I ( λ ) existiert konvergent existiert nicht divergent

Das uneigentliche Integral über das Intervall ( - , b ] wird analog definiert:

- b f ( x ) d x = lim λ - λ b f ( x ) d x existiert konvergent existiert nicht divergent

Wenn f ( x ) an jeder Stelle x stetig ist, kann man dann setzen

- f ( x ) d x = - 0 f ( x ) d x + 0 f ( x ) d x = lim λ - λ 0 f ( x ) d x + lim λ 0 λ f ( x ) d x .

Nur wenn beide Integrale auf der rechten Seite konvergieren, ist das Integral auf der linken Seite konvergent, sonst ist es divergent.

Eine Ausnahme bildet der triviale Fall, bei dem beide Teilintegrale divergent, aber für jedes λ gleich groß sind, sodass das Gesamtintegral Null und damit konvergent ist (Beispiel: f ( x ) = x ).

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