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Integralabschätzung und der Mittelwertsatz

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Theorem
Ist f ( x ) über [ a , b ] integrierbar und gilt m f ( x ) M , so existiert eine Zahl μ mit m μ M , sodass gilt
a b f ( x ) d x = μ ( b - a ) .

Zu μ existiert mindestens eine Zahl ξ [ a , b ] , sodass μ = f ( ξ ) . Man kann also den 1. Mittelwertsatz folgendermaßen umschreiben:

a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b - a ) .

Entsprechend dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung kann die Stelle ξ auch durch a + θ ( b - a ) bezeichnet werden, wobei θ [ 0 , 1 ] . Somit erhält man

a b f ( x ) d x = ( b - a ) f ( a + θ ( b - a ) ) , 0 θ 1.
Theorem
Seien f ( x ) und g ( x ) über [ a , b ] integrierbar mit m f ( x ) M und entweder stets g ( x ) 0 oder g ( x ) 0 für alle x [ a , b ] . Dann existiert eine Zahl μ mit m μ M , sodass gilt
a b f ( x ) g ( x ) d x = μ a b g ( x ) d x .

Setzt man speziell g ( x ) = 1 sodass

a b g ( x ) d x = b - a ,

so ergibt sich der verallgemeinerte 1. Mittelwertsatz der Integralrechnung.

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