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Integralabschätzung und der Mittelwertsatz

Integralabschätzung

Theorem
Sei f ( x ) über [ a , b ] integrierbar und f ( x ) 0 für alle x [ a , b ] . Dann gilt
a b f ( x ) d x 0 .
Theorem
Seien f ( x ) und g ( x ) über [ a , b ] integrierbar und es gelte f ( x ) g ( x ) für alle x [ a , b ] . Dann gilt
a b f ( x ) d x a b g ( x ) .
Theorem
Sei f ( x ) über [ a , b ] integrierbar. Dann gilt:
1) | f ( x ) | ist über [ a , b ] integrierbar und
2)
a b f ( x ) d x a b | f ( x ) | d x .
Theorem
Sei f ( x ) über [ a , b ] integrierbar und m f ( x ) M , wobei m (bzw. M ) das Minimum (bzw. Maximum) von f ( x ) auf dem Intervall [ a , b ] ist. Dann gilt
m ( b - a ) a b f ( x ) d x M ( b - a ) .
Beispiel

Wir wollen den Wert des folgenden Integrals abschätzen:

I = 0 2 5 - x 9 - x 2 d x .

Der Integrand ist f ( x ) = ( 5 - x ) / ( 9 - x 2 ) . Mit Hilfe der Differenzialrechnung findet man das Maximum und das Minimum von f ( x ) auf dem Intervall [ 0 , 2 ] .

Das Minimum von f ( x ) liegt bei f ( 1 ) = 0 , 5 und das Maximum bei f ( 2 ) = 0 , 6 . Es gilt also

0 , 5 ( 2 - 0 ) 0 2 5 - x 9 - x 2 d x 0 , 6 ( 2 - 0 ) 1 < I < 1 , 2.

Der Wert des Integrals liegt also zwischen 1 und 1 , 2 . Der exakte Wert des Integrals ist

I = 4 3 ln ( 5 ) - ln ( 3 ) 1 , 047.
Abb.1
y = ( 5 - x ) / ( 9 - x 2 )
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