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Ableitung der Integralfunktion

Beweis: Ableitung der Integralfunktion

Theorem
d I ( x ) d x = d d x a x f ( t ) d t = f ( x )

Dieser Satz, der den Zusammenhang zwischen Differenzial- und Integralrechnung darstellt, wird folgendermaßen bewiesen. Aus der Definition der Ableitung folgt zunächst:

d I ( x ) d x = lim Δ x 0 I ( x + Δ x ) - I ( x ) Δ x = lim Δ x 0 1 Δ x a x + Δ x f ( t ) d t - a x f ( t ) d t .

Aus der Vertauschung der Integrationsgrenzen im zweiten Glied und aus der Additivität hinsichtlich des Integrationsbereichs ergibt sich:

d I ( x ) d x = lim Δ x 0 1 Δ x a x + Δ x f ( t ) d t + x a f ( t ) d t = lim Δ x 0 1 Δ x x x + Δ x f ( t ) d t .

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gilt:

x x + Δ x f ( t ) d t = f ( x + θ Δ x ) Δ x , 0 θ 1.

Daraus folgt:

d I ( x ) d x = lim Δ x 0 1 Δ x f ( x + θ Δ x ) Δ x = f ( x ) ,

und der Satz ist bewiesen.

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