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Ableitung der Integralfunktion

Bestimmte Integrale als Funktion der oberen Grenze

Sei f ( x ) eine auf dem Intervall [ a , b ] integrierbare Funktion. Dann existiert das bestimmte Integral

a x f ( t ) d t

für jedes x [ a , b ] , das heißt dieses bestimmte Integral ist eine Funktion I von seiner oberen Grenze x :

I ( x ) = a x f ( t ) d t = F ( x ) - F ( a ) .

Man bezeichnet I ( x ) als Integralfunktion.

Die Ableitung der Integralfunktion

Bilden wir die erste Ableitung nach x von I ( x ) , so erhalten wir

d I ( x ) d x = d d x a x f ( t ) d t = d F ( x ) d x - d F ( a ) d x = d F ( x ) d x ,

da F ( a ) konstant ist. Aber die Stammfunktion F ( x ) ist die Anti-Ableitung von f ( x ) , d.h.

d F ( x ) d x = f ( x ) ,

so dass folgt

Theorem
d d x a x f ( t ) d t = f ( x ) .

Dies bedeutet, dass die Ableitung eines Integrals nach seiner oberen Grenze mit dem Wert des Integrands an der oberen Grenze identisch ist. Dieses Ergebnis stellt den fundamentalen Zusammenhang zwischen Differenzial- und Integralrechnung dar.

Daraus entnimmt man, dass eine Operation auf ein Argument f ( x ) , die durch die Schreibweise

d d x 1 a x 1 f ( x ) d x

bezeichnet ist, wieder das Argument f ( x ) ergibt.

Gleichermaßen ist

d d x 1 x 1 b f ( x ) d x = - d d x 1 b x 1 f ( x ) d x = - f ( x ) .
Beispiel

Sei f ( x ) = cos ( x ) . Aus der Tabelle von Anti-Ableitungen ist die Stammfunktion F ( x ) = sin ( x ) .

a x cos ( t ) d t = sin ( x ) - sin ( a ) d d x a x cos ( t ) d t = d d x sin ( x ) - sin ( a ) = cos ( x )

Verallgemeinerung

Im allgemeinen Fall betrachten wir ein Integral, das eine Funktion seiner oberen und unteren Grenzen ist, das heißt eine Funktion zweier Veränderlicher:

I ( u , v ) = u ( x ) v ( x ) f ( t ) d t .

Wegen der Kettenregel ist

d I d x = I u d u d x + I v d v d x = - f ( u ) d u d x + f ( v ) d v d x ,

woraus folgt:

Theorem
d d x u ( x ) v ( x ) f ( t ) d t = f ( v ) d v d x - f ( u ) d u d x .
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