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Rekursionsmethode

Rekursion

Bei der Anwendung der partiellen Integration ist es nicht immer möglich, in einem Schritt zur Lösung zu gelangen. Hier besteht die Möglichkeit, nach Zerlegung des Integranden in geeignete Faktoren die partielle Integration mehrmals hintereinander durchzuführen, bis schließlich ein bekanntes Grundintegral entsteht. Mit diesem lassen sich dann alle vorangegangenen noch unbekannten Integrale schrittweise berechnen. Es ergibt sich eine Rekursionsformel.

Beispiel

Wir betrachten

I n = 0 π / 2 sin n ( x ) d x mit n = 0 , 1 , 2 , .

Es ist sin n ( x ) = sin ( x ) sin n -1 ( x ) , sodass wir setzen

u ( x ) = sin n - 1 ( x ) u ' ( x ) = ( n - 1 ) sin n - 2 ( x ) cos ( x ) v ' ( x ) = sin ( x ) v ( x ) = - cos ( x ) ;

also:

I n = u ( x ) v ( x ) 0 π / 2 - u ' ( x ) v ( x ) d x = - sin n - 1 ( x ) cos ( x ) 0 π / 2 + ( n - 1 ) 0 π / 2 sin n - 2 ( x ) cos 2 ( x ) d x .

Der erste Summand auf der rechten Seite ist gleich Null. In dem zweiten Summanden ersetzen wir nach der trigonometrischen Version der Pythagoras-Formel cos 2 ( x ) durch 1 - sin 2 ( x ) , sodass

I n = ( n - 1 ) 0 π / 2 sin n - 2 ( x ) d x - ( n - 1 ) 0 π / 2 sin n ( x ) d x ,

d.h.

I n = ( n - 1 ) I n - 2 - ( n - 1 ) I n ,

woraus folgt:

I n = n - 1 n I n - 2 .

Das ist die Rekursionsformel für das Integral I n . Mit den Integralen I 0 und I 1 können wir alle anderen rekursiv berechnen. Zum Beispiel

I 0 = 0 π / 2 d x = π 2 , I 1 = 0 π / 2 sin ( x ) d x = - cos ( x ) 0 π / 2 = 1

und

I 3 = 0 π / 2 sin 3 ( x ) d x = 2 3 I 1 = 2 3 I 4 = 0 π / 2 sin 4 ( x ) d x = 3 4 I 2 = 3 4 1 2 I 0 = 3 16 π .
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