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Integration rationaler Funktionen

Häufige Integrandtypen

  • Integrandtyp 1 f l ( x ) = A ( x - α ) l , l = 1 , 2 , Die Stammfunktionen F l ( x ) für f l ( x ) können der Tabelle elementarer Anti-Ableitungen entnommen werden. Es gilt: F l ( x ) = - A ( l - 1 ) 1 ( x - α ) l - 1 + C l 1 F 1 ( x ) = A ln x - α + C l = 1.
  • Integrandtyp 2 g l ( x ) = A x + B ( x 2 + p x + q ) l , l = 1 , 2 , Wir betrachten zunächst den Fall l > 1 . Durch Umformung des Zählers ergibt sich: G l ( x ) = A x + B ( x 2 + p x + q ) l d x = A 2 2 x + p ( x 2 + p x + q ) l d x + B - p A 2 d x ( x 2 + p x + q ) l = - A 2 ( l - 1 ) 1 ( x 2 + p x + q ) l - 1 + B - p A 2 d x ( x 2 + p x + q ) l . Für l = 1 ergibt sich: G 1 ( x ) = A x + B ( x 2 + p x + q ) d x = A 2 ln x 2 + p x + q + B - p A 2 d x ( x 2 + p x + q ) Zur vollständigen Bestimmung von G l ( x ) und G 1 ( x ) sind noch die Integrale I l ( x ) = d x ( x 2 + p x + q ) l zu integrieren. Sie werden durch die Rekursionsformel I l ( x ) = 1 ( l - 1 ) ( 4 q - p 2 ) 2 x + p ( x 2 + p x + q ) l - 1 + 2 ( 2 l - 3 ) ( l - 1 ) ( 4 q - p 2 ) I l - 1 ( x ) berechnet, die es erlaubt, das Integral I l ( x ) nach l - 1 Schritten auf das Integral I 1 ( x ) = d x ( x 2 + p x + q ) = 2 ( 4 q - p 2 ) 1 / 2 arctan 2 x + p ( 4 q - p 2 ) 1 / 2 + C zurückzuführen. Wir wollen noch einmal daran erinnern, dass p 2 -4 q < 0 sein muss.
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