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Integration rationaler Funktionen

Zerlegung des Nennerpolynoms

Indem man die Koeffizienten des Zählers und des Nenners der rationalen Funktion durch b m dividiert, kann man erreichen, dass der Koeffizient der höchsten Potenz in Q ( x ) gleich 1 ist. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Q ( x ) = ( x - α 1 ) k ( 1 ) ( x - α ν ) k ( ν ) ( x 2 + p 1 x + q 1 ) l ( 1 ) ( x 2 + p μ x + q μ ) l ( μ ) ,

dabei sind α ν ( ν = 1 , 2 , , r ) die reellen Nullstellen des Polynoms Q ( x ) mit den Vielfachheiten k ( ν ) , während die quadratischen Polynome keine reellen Nullstellen besitzen, d.h. es gilt: p μ 2 -4 q μ < 0 ( μ = 1 , 2 , , s ) .

Beispiel
Q ( x ) = x 3 + x = x ( x 2 + 1 ) Q ( x ) = x 4 - 8 x 3 + 23 x 2 - 30 x + 18 = ( x - 3 ) 2 ( x 2 - 2 x + 2 ) Q ( x ) = x 8 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x 2 - 1 ) ( x 2 + 2 x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 1 ) Q ( x ) = x 8 - 2 x 4 + 1 = ( x 2 + 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 ( x - 1 ) 2

Zu jedem der Faktoren von Q ( x ) gehört nun eine Anzahl von Partialbrüchen, und zwar gehören zu jedem Faktor der Form ( x - α ) k die Brüche

A 1 x - α + A 2 ( x - α ) 2 + + A k ( x - α ) k

und zu jedem Faktor der Form ( x 2 + p x + q ) l die Brüche

B 1 x + C 1 x 2 + p x + q + B 2 x + C 2 ( x 2 + p x + q ) 2 + + B l x + C l ( x 2 + p x + q ) l ,

wobei die Konstanten A i , i = 1 , 2 , , k und B i , C i , i = 1 , 2 , , l noch unbekannt sind.

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