Integration rationaler Funktionen
Partialbruchzerlegung
Jede rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome und
Ist der Grad des Zählers größer oder gleich dem Grad des Nenners , dann ist der Quotient der Division des Polynoms durch das Polynom ein Polynom und der Rest dieser Division ein Polynom , dessen Grad nicht höher als ist. Folglich ist
Die Integration des Polynoms bereitet keine Schwierigkeiten. Von der rationalen Funktion wird eine Partialbruchzerlegung hergestellt, d.h. sie wird in eine Summe von Brüchen zerlegt, die sich dann leicht integrieren lassen.
Die Partialbruchzerlegung ist eng verknüpft mit der Zerlegung des Nennerpolynoms in Faktoren. Zu jedem der Faktoren von gehört eine Anzahl von Partialbrüchen. Es gibt drei Fälle, die unten in Beispielen behandelt werden:
- Nennerpolynom mit linearen Faktoren
- Nennerpolynom mit quadratischen Faktoren
- Nennerpolynom mit einer Vielfachheit von Faktoren
Die Koeffizienten , , , , , , , erhält man, indem man die rationale Funktion und ihre Partialbruchzerlegung mit dem Nenner multipliziert, wodurch alle Nenner wegfallen, und dann zwischen beiden einen Koeffizientenvergleich durchführt.
Nach einer Partialbruchzerlegung haben wir das Problem darauf reduziert, Stammfunktionen zu den folgenden zwei Funktionstypen zu finden: