Partialbruchzerlegung

Jede rationale Funktion $\mathit{R}(\mathit{x})$ ist der Quotient zweier Polynome $\mathit{P}(\mathit{x})$ und $\mathit{Q}(\mathit{x})$

$$\mathit{R}(\mathit{x})=\frac{\mathit{P}(\mathit{x})}{\mathit{Q}(\mathit{x})}=\frac{{\mathit{a}}_0+{\mathit{a}}_1\mathit{x}+\dots +{\mathit{a}}_{\mathit{n}}{\mathit{x}}^{\mathit{n}}}{{\mathit{b}}_0+{\mathit{b}}_1\mathit{x}+\dots +{\mathit{b}}_{\mathit{m}}{\mathit{x}}^{\mathit{m}}}.$$

Ist der Grad $\mathit{n}$ des Zählers $\mathit{P}(\mathit{x})$ größer oder gleich dem Grad $\mathit{m}$ des Nenners $\mathit{Q}(\mathit{x})$, dann ist der Quotient der Division des Polynoms $\mathit{P}(\mathit{x})$ durch das Polynom $\mathit{Q}(\mathit{x})$ ein Polynom $\mathit{N}(\mathit{x})$ und der Rest dieser Division ein Polynom ${\mathit{P}}_1(\mathit{x})$, dessen Grad nicht höher als $\mathit{m}-1$ ist. Folglich ist

$$\frac{\mathit{P}(\mathit{x})}{\mathit{Q}(\mathit{x})}=\mathit{N}(\mathit{x})+\frac{{\mathit{P}}_1(\mathit{x})}{\mathit{Q}(\mathit{x})}.$$

Die Integration des Polynoms $\mathit{N}(\mathit{x})$ bereitet keine Schwierigkeiten. Von der rationalen Funktion ${\mathit{P}}_1(\mathit{x})/\mathit{Q}(\mathit{x})$ wird eine Partialbruchzerlegung hergestellt, d.h. sie wird in eine Summe von Brüchen zerlegt, die sich dann leicht integrieren lassen.

Die Partialbruchzerlegung ist eng verknüpft mit der Zerlegung des Nennerpolynoms $\mathit{Q}(\mathit{x})$ in Faktoren. Zu jedem der Faktoren von $\mathit{Q}(\mathit{x})$ gehört eine Anzahl von Partialbrüchen. Es gibt drei Fälle, die unten in Beispielen behandelt werden:

1. Nennerpolynom mit linearen Faktoren$$\frac{11\mathit{x}+12}{(2\mathit{x}+3)(\mathit{x}+2)(\mathit{x}-3)}\equiv \frac{\text{A}}{(2\mathit{x}+3)}+\frac{\text{B}}{(\mathit{x}+2)}+\frac{\text{C}}{(\mathit{x}-3)}$$
2. Nennerpolynom mit quadratischen Faktoren$$\frac{3\mathit{x}+1}{(\mathit{x}-1)(\mathit{x}+2)({\mathit{x}}^2-2\mathit{x}+2)}\equiv \frac{\text{A}}{(\mathit{x}-1)}+\frac{\text{B}}{(\mathit{x}+2)}+\frac{\text{C}\mathit{x}+\text{D}}{({\mathit{x}}^2-2\mathit{x}+2)}$$
3. Nennerpolynom mit einer Vielfachheit von Faktoren$$\frac{1}{(\mathit{x}+2)(\mathit{x}-1{)}^2({\mathit{x}}^2+1{)}^2}\equiv \frac{\text{A}}{(\mathit{x}+2)}+\frac{\text{B}}{(\mathit{x}-1)}+\frac{\text{C}}{(\mathit{x}-1{)}^2}+\frac{\text{D}\mathit{x}+\text{E}}{({\mathit{x}}^2+1)}+\frac{\text{F}\mathit{x}+\text{G}}{({\mathit{x}}^2+1{)}^2}$$

Die Koeffizienten $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$, $\text{G}$, $\dots$ erhält man, indem man die rationale Funktion $\mathit{R}(\mathit{x})$ und ihre Partialbruchzerlegung mit dem Nenner $\mathit{Q}(\mathit{x})$ multipliziert, wodurch alle Nenner wegfallen, und dann zwischen beiden einen Koeffizientenvergleich durchführt.

Nach einer Partialbruchzerlegung haben wir das Problem darauf reduziert, Stammfunktionen zu den folgenden zwei Funktionstypen zu finden:

$$\begin{array}{lrcll}1.& {\mathit{f}}_{\mathit{l}}(\mathit{x})& =& \frac{\text{A}}{(\mathit{x}-\alpha {)}^{\mathit{l}}},& \mathit{l}=1,2,\dots \\ 2.& {\mathit{g}}_{\mathit{l}}(\mathit{x})& =& \frac{\text{A}\mathit{x}+\text{B}}{({\mathit{x}}^2+\mathit{p}\mathit{x}+\mathit{q}{)}^{\mathit{l}}},& \mathit{l}=1,2,\dots \end{array}$$