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Integration rationaler Funktionen

Partialbruchzerlegung

Jede rationale Funktion R ( x ) ist der Quotient zweier Polynome P ( x ) und Q ( x )

R ( x ) = P ( x ) Q ( x ) = a 0 + a 1 x + + a n x n b 0 + b 1 x + + b m x m .

Ist der Grad n des Zählers P ( x ) größer oder gleich dem Grad m des Nenners Q ( x ) , dann ist der Quotient der Division des Polynoms P ( x ) durch das Polynom Q ( x ) ein Polynom N ( x ) und der Rest dieser Division ein Polynom P 1 ( x ) , dessen Grad nicht höher als m - 1 ist. Folglich ist

P ( x ) Q ( x ) = N ( x ) + P 1 ( x ) Q ( x ) .

Die Integration des Polynoms N ( x ) bereitet keine Schwierigkeiten. Von der rationalen Funktion P 1 ( x ) / Q ( x ) wird eine Partialbruchzerlegung hergestellt, d.h. sie wird in eine Summe von Brüchen zerlegt, die sich dann leicht integrieren lassen.

Die Partialbruchzerlegung ist eng verknüpft mit der Zerlegung des Nennerpolynoms Q ( x ) in Faktoren. Zu jedem der Faktoren von Q ( x ) gehört eine Anzahl von Partialbrüchen. Es gibt drei Fälle, die unten in Beispielen behandelt werden:

  1. Nennerpolynom mit linearen Faktoren 11 x + 12 ( 2 x + 3 ) ( x + 2 ) ( x - 3 ) A ( 2 x + 3 ) + B ( x + 2 ) + C ( x - 3 )
  2. Nennerpolynom mit quadratischen Faktoren 3 x + 1 ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x 2 - 2 x + 2 ) A ( x - 1 ) + B ( x + 2 ) + C x + D ( x 2 - 2 x + 2 )
  3. Nennerpolynom mit einer Vielfachheit von Faktoren 1 ( x + 2 ) ( x - 1 ) 2 ( x 2 + 1 ) 2 A ( x + 2 ) + B ( x - 1 ) + C ( x - 1 ) 2 + D x + E ( x 2 + 1 ) + F x + G ( x 2 + 1 ) 2

Die Koeffizienten A , B , C , D , E , F , G , erhält man, indem man die rationale Funktion R ( x ) und ihre Partialbruchzerlegung mit dem Nenner Q ( x ) multipliziert, wodurch alle Nenner wegfallen, und dann zwischen beiden einen Koeffizientenvergleich durchführt.

Nach einer Partialbruchzerlegung haben wir das Problem darauf reduziert, Stammfunktionen zu den folgenden zwei Funktionstypen zu finden:

1. f l ( x ) = A ( x - α ) l , l = 1 , 2 , 2. g l ( x ) = A x + B ( x 2 + p x + q ) l , l = 1 , 2 ,
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