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Integration rationaler Funktionen

Integration rationaler Funktionen

Es ist ein Charakteristikum der Infinitesimalrechnung, dass einer Vielfalt von zum Teil sehr allgemeinen Differenziationsmethoden nur wenige, meist spezielle Integrationsmethoden (Substitution, partieller Integration) gegenüber stehen. Im Folgenden ergänzen wir die bereits besprochenen Methoden durch solche, die auf Integranden spezieller Art Anwendung finden können.

Hier beschäftigen wir uns mit dem Problem, Stammfunktionen rationaler Funktionen zu bestimmen. Ganzrationale Funktionen

P ( x ) = i = 0 n a i x i = a 0 + a 1 x + + a n x n

lassen sich ohne Schwierigkeiten integrieren:

P ( x ) d x = i = 0 n a i x i d x = i = 0 n a i i + 1 x i + 1 + C .

Schwieriger zu behandeln sind gebrochenrationale Funktionen z.B.

f ( x ) = 5 - x 9 - x 2 .

Die Partialbruchzerlegung gebrochen rationaler Funktionen erlaubt, eine gebrochenrationale Funktion als Summe von gewissen Grundtypen gebrochenrationaler Funktionen zu schreiben, die sich dann leicht integrieren lassen:

f ( x ) = 5 - x 9 - x 2 = 1 3 1 3 - x + 4 3 1 3 + x .

Es ist dann

f ( x ) d x = 1 3 d x 3 - x + 4 3 d x 3 + x = - 1 3 ln 3 - x + 4 3 ln 3 + x + C .
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