Partielle Integration

Unter partieller Integration versteht man eine Methode, ein vorliegendes Integral auf ein anderes, einfacher zu berechnendes zurückzuführen. Da es dabei darauf ankommt, den Integranden in ein Produkt zweier Faktoren zu zerlegen und dann für den einen Faktor eine Stammfunktion anzugeben, bezeichnet man diese Integrationsmethode als partielle Integration.

Die Regel für die partielle Integration ergibt sich aus der Produktregel der Differenzialrechnung:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}\mathit{x}}\left[\mathit{u}(\mathit{x})\cdot \mathit{v}(\mathit{x})\right]=\frac{\text{d}\mathit{u}(\mathit{x})}{\text{d}\mathit{x}}\cdot \mathit{v}(\mathit{x})+\mathit{u}(\mathit{x})\cdot \frac{\text{d}\mathit{v}(\mathit{x})}{\text{d}\mathit{x}}.$$

Durch Integration der beiden Seiten bekommt man,

$$\mathit{u}(\mathit{x})\cdot \mathit{v}(\mathit{x})=\int \frac{\text{d}\mathit{u}(\mathit{x})}{\text{d}\mathit{x}}\cdot \mathit{v}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}+\int \mathit{u}(\mathit{x})\cdot \frac{\text{d}\mathit{v}(\mathit{x})}{\text{d}\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}$$

oder

$$\int \mathit{u}(\mathit{x})\cdot \frac{\text{d}\mathit{v}(\mathit{x})}{\text{d}\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}=\mathit{u}(\mathit{x})\cdot \mathit{v}(\mathit{x})-\int \frac{\text{d}\mathit{u}(\mathit{x})}{\text{d}\mathit{x}}\cdot \mathit{v}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}.$$

Für ein bestimmtes Integral ist dann:

$$\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\mathit{u}(\mathit{x})\cdot \frac{\text{d}\mathit{v}(\mathit{x})}{\text{d}\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}={\left[\mathit{u}(\mathit{x})\cdot \mathit{v}(\mathit{x})\right]}_{\mathit{a}}^{\mathit{b}}-\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\frac{\text{d}\mathit{u}(\mathit{x})}{\text{d}\mathit{x}}\cdot \mathit{v}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}.$$

Beispiel

Man berechne

$$\mathit{I}=\int \mathit{x}sin(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}.$$

Wir wählen

$$\begin{array}{rclcrcl}\mathit{u}(\mathit{x})& =& \mathit{x}& \Rightarrow & \mathit{u}\text{'}(\mathit{x})& =& 1\\ \mathit{v}\text{'}(\mathit{x})& =& sin(\mathit{x})& \Rightarrow & \mathit{v}(\mathit{x})& =& -cos(\mathit{x}),\end{array}$$

also ergibt sich:

$$\begin{array}{rcl}\mathit{I}& =& \int \mathit{u}(\mathit{x})\cdot \mathit{v}\text{'}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}\\ & =& \mathit{u}(\mathit{x})\cdot \mathit{v}(\mathit{x})-\int \mathit{u}\text{'}(\mathit{x})\cdot \mathit{v}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}\\ & =& -\mathit{x}cos(\mathit{x})+\int cos(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}\\ & =& -\mathit{x}cos(\mathit{x})+sin(\mathit{x})+\mathit{C}\end{array}$$