Substitution einer neuen Variablen - allgemein

Es wird nachfolgend die allgemeine Verfahrensweise bei der Variablensubstitution behandelt.

$$\mathit{I}=\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\mathit{f}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}$$

Ansatz:

$$\mathit{u}=\phi (\mathit{x})\Rightarrow \mathit{x}=\psi (\mathit{u})\text{und}\text{d}\mathit{x}=\psi \text{'}(\mathit{u})\text{d}\mathit{u}$$

Also:

$$\mathit{I}=\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\mathit{f}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}=\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\mathit{g}(\phi (\mathit{x}))\text{d}\mathit{x}=\underset{\phi (\mathit{a})}{\overset{\phi (\mathit{b})}{\int }}\mathit{g}(\mathit{u})\psi \text{'}(\mathit{u})\text{d}\mathit{u}=\underset{\phi (\mathit{a})}{\overset{\phi (\mathit{b})}{\int }}\mathit{h}(\mathit{u})\text{d}\mathit{u}$$

Hier wird also ein vorliegendes Integral auf ein anderes zurückgeführt, von dem man natürlich hofft, dass es einfacher zu berechnen ist. Dies hängt in der Praxis sehr davon ab, dass die Substitution geschickt gewählt wird. Wir wollen einige Formen von Integranden untersuchen, bei denen die Substitution besonders einfach ist:

a) der Integrand $\mathit{f}(\mathit{x})$ ist von der Form $\phi \text{'}(\mathit{x})/\phi (\mathit{x})$.

Wenn im Zähler die Ableitung $\phi \text{'}(\mathit{x})$ der Nennerfunktion $\phi (\mathit{x})$ steht, so substituiert man $\phi (\mathit{x})=\mathit{u}$ mit $\phi \text{'}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}=\text{d}\mathit{u}$ und erhält das Integral

$$\mathit{I}=\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\frac{\phi \text{'}(\mathit{x})}{\phi (\mathit{x})}\text{d}\mathit{x}=\underset{\phi (\mathit{a})}{\overset{\phi (\mathit{b})}{\int }}\frac{\phi \text{'}(\mathit{x})}{\phi (\mathit{x})}\frac{\text{d}\mathit{u}}{\phi \text{'}(\mathit{x})}=\underset{\phi (\mathit{a})}{\overset{\phi (\mathit{b})}{\int }}\frac{\text{d}\mathit{u}}{\mathit{u}}\text{ .}$$

Beispiel

Man berechne

$$\mathit{I}=\int cot(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}.$$

Da $cot(\mathit{x})=cos(\mathit{x})/sin(\mathit{x})$, ergibt sich

$$\begin{array}{rcl}\mathit{I}& =& \int \frac{cos(\mathit{x})}{sin(\mathit{x})}\text{d}\mathit{x}=\int \frac{1}{sin(\mathit{x})}\frac{\text{d}sin(\mathit{x})}{\text{d}\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}=\int \frac{\text{d}sin(\mathit{x})}{sin(\mathit{x})}\\ & =& ln|sin(\mathit{x})|+\mathit{C}\text{ .}\end{array}$$

b) der Integrand $\mathit{f}(\mathit{x})$ ist von der Form $\mathit{h}(\phi (\mathit{x}))\phi \text{'}(\mathit{x})$.

Es wird natürlich $\phi \text{'}(\mathit{x})\ne 0$ vorausgesetzt. Die Substitution $\phi (\mathit{x})=\mathit{u}$, $\phi \text{'}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}=\text{d}\mathit{u}$ zu einer integrierbaren Funktion in $\mathit{u}$, auf das Integral $\int \mathit{h}(\mathit{u})\text{d}\mathit{u}$.

$$\mathit{I}=\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\mathit{h}(\phi (\mathit{x}))\phi \text{'}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}=\underset{\phi (\mathit{a})}{\overset{\phi (\mathit{b})}{\int }}\mathit{h}(\mathit{u})\text{d}\mathit{u}\text{ .}$$