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Integrationstechniken

Variablensubstitution - Prinzip

Eine Integration vereinfacht sich, wenn

  • eine Teilfunktion φ ( x ) des Integranden als neue Variable u oder
  • die Integrationsvariable x durch eine passend gewählte Funktion x = ψ ( u ) als neue Integrationsvariable u

substituiert wird.

In beiden Fällen muss die Beziehung zwischen den Differenzialen d x und d u der gegebenen Variablen x und der neuen u im Integral und den Integrationsgrenzen berücksichtigt werden. Diese Vorgehensweise wird als Variablensubstitution bezeichnet.

Beispiel

Man berechne das unbestimmte Integral

I = sin ( 2 x ) d x .

Wir setzen

u = 2 x x = u / 2 und d x = d u / 2.

Also:

I = sin ( u ) d u 2 = 1 2 sin ( u ) d u = - 1 2 cos ( u ) + C = - 1 2 cos ( 2 x ) + C  .

Falls das Integral bestimmt ist, müssen die Grenzen geändert werden:

Beispiel

Man berechne das bestimmte Integral

I = a b x sin ( x 2 ) d x

Ansatz:

u = x 2 d u = 2 x d x d x = 1 2 x d u x = a u ( x = a ) = a 2 x = b u ( x = b ) = b 2

Also:

I = x = a x = b x sin ( x 2 ) 1 2 x d u = 1 2 u = a 2 u = b 2 sin ( u ) d u = - 1 2 cos ( u ) a 2 b 2 = 1 2 cos ( a 2 ) - cos ( b 2 )
Hinweis
Wenn man ein unbestimmtes Integral durch Substitution integriert, dann muss man nach der Integration zur ursprünglichen Variablen zurückgehen. Bei bestimmten Integralen entfällt die Zurücksubstitution, man hat aber dafür die transformierten Integrationsgrenzen einzusetzen.
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