Integralzerlegung

Wir wollen anhand eines einfachen Beispiels die Zerlegung eines Integrals in eine Summe von Integralen und die Abspaltung eines konstanten Faktors vorführen.

Beispiel

Man berechne das folgende bestimmte Integral

$$\mathit{I}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2{\mathit{x}}^2+\frac{4}{\mathit{x}}-{\text{e}}^{\mathit{x}}\right)\text{d}\mathit{x}.$$

Durch die Summenregel erhalten wir

$$\mathit{I}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}2{\mathit{x}}^2\text{d}\mathit{x}+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{4}{\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}-\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\text{e}}^{\mathit{x}}\text{d}\mathit{x},$$

und mit der Faktorregel ergibt sich

$$\mathit{I}=2\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\mathit{x}}^2\text{d}\mathit{x}+4\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}-\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\text{e}}^{\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}.$$

Aus der Tabelle elementarer Anti-Ableitungen entnehmen wir

$$\begin{array}{rcl}\mathit{I}& =& 2{\left[{\mathit{x}}^3/3\right]}_1^2+4{\left[ln|\mathit{x}|\right]}_1^2-{\left[{\text{e}}^{\mathit{x}}\right]}_1^2\\ & =& \frac{14}{3}-{\text{e}}^2+\text{e}+4ln2\\ & \approx & \mathrm{2,768}\text{ .}\end{array}$$