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Bestimmte Integrale

Flächenberechnung: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven

Man berechnet den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven als Differenz zweier Flächen. Seien y 1 = f 1 ( x ) und y 2 = f 2 ( x ) zwei Kurven, die die Bedingung f 2 ( x ) f 1 ( x ) im Intervall [ a , b ] erfüllen, d.h. die Kurve y 2 = f 2 ( x ) verläuft oberhalb der Kurve y 1 = f 1 ( x ) , ferner gelte f i ( x ) 0 . Der Flächeninhalt ist dann durch die Differenz

A = a b f 2 ( x ) d x - a b f 1 ( x ) d x

gegeben.

Beispiel

Zu berechnen ist der Flächeninhalt zwischen der Polynomfunktion y 1 = f 1 ( x ) = x 2 + 2 x - 3 und der Geraden y 2 = f 2 ( x ) = x .

Abb.1
y 1 = x 2 + 2 x - 3 , y 2 = x

Zunächst werden die Kurvenschnittpunkte x 1 , x 2 berechnet, die sich aus folgender Gleichung ergeben werden:

f 1 ( x ) = f 2 ( x ) x 2 + 2 x - 3 = x x 2 + x - 3 = 0 x 1 = - 13 - 1 2 -2,303 .

Die gesuchte Fläche ist dann:

A = x 1 x 2 f 2 ( x ) d x - x 1 x 2 f 1 ( x ) d x = x 1 x 2 x d x - x 1 x 2 x 2 + 2 x - 3 d x = - x 1 x 2 x 2 + x - 3 d x = - 1 3 x 3 + 1 2 x 2 - 3 x x 1 x 2 7 , 81 .
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