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Bestimmte Integrale

Negative Integralbeiträge

Bei der Berechnung des Flächeninhaltes A zwischen einer Kurve y = f ( x ) und der x -Achse auf dem Intervall [ a , b ] muss es berücksichtigt werden, welche Teile der Kurve oberhalb bzw. unterhalb der x -Achse liegen, weil die entsprechenden Integralbeiträge positiv bzw. negativ sind. Da A nur eine positive Größe sein kann, müssen die Vorzeichen der negativen Integralbeiträge bei der Summierung aller Teilintegrale I 1 , I 2 , , I n umgekehrt werden. Dazu werden bei der Berechnung von A die Beträge aller Teilintegrale summiert:

A = | I 1 | + | I 2 | + + | I n | .

Die Zerlegung der Fläche in Teilflächen benötigt die Nullstellen der Funktion y = f ( x ) im Intervall [ a , b ] .

Beispiel

Zu berechnen ist der Flächeninhalt zwischen der Polynomfunktion y = x 2 + 2 x - 3 , der x -Achse und den Parallelen zur y -Achse bei x = -4 und x = 3 .

Abb.1
y = x 2 + 2 x - 3

Nach Zerlegung von der Polynomfunktion in Faktoren ergeben sich die Nullstellen x 1 = -3 , x 2 = 1 :

y = x 2 + 2 x - 3 = ( x + 3 ) ( x - 1 ) y = 0 x 1 = -3 , x 2 = 1 .

Die Fläche zerfällt damit in drei Teilflächen, deren Teilintegrale zu berechnen sind. Die Anti-Ableitung von f ( x ) ist

F ( x ) = 1 3 x 3 + x 2 - 3 x + C .

Die Teilintegrale sind:

I 1 = -4 -3 f ( x ) d x = F ( x ) -4 -3 = 7 3 I 2 = -3 1 f ( x ) d x = F ( x ) -3 1 = - 32 3 I 3 = 1 2 f ( x ) d x = F ( x ) 1 2 = 7 3 .

Die gesuchte Fläche ist

A = | I 1 | + | I 2 | + | I 3 | = 46 3 .
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