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Bestimmte Integrale

Eigenschaften bestimmter Integrale

Es werden im Folgenden wichtige Eigenschaften des bestimmten Integrals zusammengestellt. Sie sind für die verschiedenen Methoden der Integration von Bedeutung. Existiert für f ( x ) im Intervall [ a , b ] die Anti-Ableitung F ( x ) (Stammfunktion), so bezeichnet man f ( x ) als integrierbar in [ a , b ] und es gilt d F ( x ) / d x = f ( x ) :

a b f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) mit d F ( x ) / d x = f ( x )

Die folgenden Punkte werden behandelt:

  • Integrationsvariable beliebig
  • Vorzeichen des bestimmten Integrals (Flächenvorzeichen)
  • Vertauschung der Integrationsgrenzen
  • Additivität bezüglich des Integrationsbereichs
  • Ungerade Funktion
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Linearität

Integrationsvariable beliebig

Das bestimmte Integral ist eine Zahl, die nur von dem Integranden und den Grenzen a und b abhängt. Die Integrationsvariable ist deswegen beliebig benennbar:

a b f ( x ) d x = a b f ( t ) d t = a b f ( u ) d u .

Vorzeichen des bestimmten Integrals (Flächenvorzeichen)

Es sei f ( x ) > 0 und integrierbar im Intervall [ a , b ] . Folglich hat die Fläche A f unter f ( x ) (Summengrenzwert) einen positiven Wert und es existiert die Stammfunktion F ( x ) . Also gilt A f = F ( b ) - F ( a ) > 0 .

Für die Funktion g ( x ) : = - f ( x ) < 0 verläuft der Graph unter der x -Achse im Intervall [ a , b ] . Ihre Stammfunktion ist G ( x ) : = - F ( x ) wegen d G ( x ) / d x = - f ( x ) = - d F ( x ) / d x = d / d x .

Für Teile der Kurve unterhalb der x -Achse hat der „Flächeninhalt” negative Werte, da in den entsprechenden Summanden m i Δ x und M i Δ x die Werte m i und M i für alle i negativ sind, während das Intervall positiv ist.

Für die geometrische Interpretation des bestimmten Integrals fassen wir also zusammen:

f ( x ) 0 im Intervall [ a , b ] A = a b f ( x ) d x 0 f ( x ) 0 im Intervall [ a , b ] A = - a b f ( x ) d x 0 .

Die Abbildung zeigt am Beispiel des Integrals der Sinusfunktion von 0 bis 2 π , dass das Integral den Wert Null haben kann.

Abb.1
y = sin ( x )

Vertauschen der Integrationsgrenzen

Sei f ( x ) über [ a , b ] integrierbar, dann gilt:

a b f ( x ) d x = - b a f ( x ) d x .

Dieses Ergebnis folgt aus

a b f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) = - F ( a ) - F ( b ) = - b a f ( x ) d x .

Sei a = b , dann ist:

a a f ( x ) d x = - a a f ( x ) d x a a f ( x ) d x = 0.

Additivität bezüglich des Integrationsbereichs

Sei f ( x ) über [ a , b ] integrierbar und a < c < b , dann ist f ( x ) über [ a , c ] integrierbar und f ( x ) über [ c , b ] integrierbar und es gilt

a b f ( x ) d x = a c f ( x ) d x + c b f ( x ) d x .

Wenn a < c i < c i +1 < b für alle i = 1 , , ( k -1 ) gilt, dann folgt aus dem letzten Satz:

a b f ( x ) d x = a c 1 f ( x ) d x + c 1 c 2 f ( x ) d x + + c k b f ( x ) d x .

Die Zerlegung eines Integrals nach dem Integrationsintervall kann man immer dann verwenden, um positive und negative Flächeninhalte dadurch getrennt zu erhalten, dass man die Nullstellen des Integranden als Intervallpunkte c i wählt. Auch für Integranden mit Sprungstellen endlicher Sprunghöhe muss man das Integrationsintervall in zwei durch die Sprungstelle getrennte Intervalle teilen, da nicht-stetige Funktionen nicht integrierbar sind (siehe (Abb. 2) ).

Abb.2
Funktion mit einer Sprungstelle

Ungerade Funktion

Das Integral einer ungeraden Funktion über einen symmetrisch um 0 liegenden Integrationsbereich verschwindet.

I = - a a f ( x ) d x mit f ( - x ) = - f ( x ) = - a 0 f ( x ) d x + 0 a f ( x ) d x

Nach der Substitution x - x im linken Integral erhält man

- a 0 f ( x ) d x = - a 0 f ( - x ) d x = a 0 f ( x ) d x ungerade Funktion = - 0 a f ( x ) d x Vertauschen der Integrationsgrenzen .

Somit ist

I = - 0 a f ( x ) d x + 0 a f ( x ) d x = 0 .

Faktorregel

Sei f ( x ) über [ a , b ] integrierbar. Ersetzen wir f ( x ) durch c f ( x ) ( c Konstante), dann müssen wir die Stammfunktion F ( x ) durch c F ( x ) ersetzen, denn es gilt

d F ( x ) d x = f ( x ) d ( c F ( x ) ) d x = c f ( x ) .

Es folgt

a b c f ( x ) d x = c F ( b ) - c F ( a ) = c F ( b ) - F ( a ) ,

also

a b c f ( x ) d x = c a b f ( x ) d x

Summenregel

Sei f ( x ) und g ( x ) über [ a , b ] integrierbar.

d F ( x ) d x = f ( x ) , d G ( x ) d x = g ( x ) d d x F ( x ) + G ( x ) = f ( x ) + g ( x )

Es folgt

a b f ( x ) + g ( x ) d x = F ( b ) + G ( b ) - F ( a ) + G ( a ) = F ( b ) - F ( a ) + G ( b ) - G ( a )

also

a b f ( x ) + g ( x ) d x = a b f ( x ) d x + a b g ( x ) d x .

Linearität

a b c 1 f 1 ( x ) + + c n f n ( x ) d x = c 1 a b f 1 ( x ) d x + + c n a b f n ( x ) d x
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