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Hauptsatz der Integralrechnung

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung - Beweis

Theorem
Sei f ( x ) stetig auf [ a , b ] (und somit über [ a , b ] integrierbar) und sei F ( x ) eine Stammfunktion zu f ( x ) auf [ a , b ] . Es gilt
a b f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) .

Wir betrachten die Funktion

I ( x ) = a x f ( t ) d t .

Da die Ableitung der Integralfunktion I ' ( x ) = f ( x ) ist, stellt I ( x ) auch eine Stammfunktion von f ( x ) dar. Nach dem Satz für Stammfunktionen gilt

I ( x ) = F ( x ) + C ,

wobei C eine ganz bestimmte Konstante ist. Es ist

I ( a ) = a a f ( t ) d t = 0 = F ( a ) + C C = - F ( a ) .

Damit ist

a x f ( t ) d t = F ( x ) - F ( a )

bzw. (für x = b )

a b f ( t ) d t = F ( b ) - F ( a ) = a b f ( x ) d x ,

da die Integrationsvariable beliebig ist.

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