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Hauptsatz der Integralrechnung

Hauptsatz der Integralrechnung

Gesucht ist die Fläche A unter dem Graphen der Funktion y = f ( x ) bis zur x -Achse im Intervall [ a , b ] . Sie kann auf zwei Wegen berechnet werden.

Abb.1
Fläche unter einer Kurve

Beide Wege führen zum gleichen Wert der Fläche A . Es folgt der Satz:

Theorem
Das bestimmte Integral der Funktion f ( x ) in den Grenzen [ a , b ] ist gleich der Differenz der Werte der Stammfunktion F ( x ) von f ( x ) bei den Intervallgrenzen:
a b f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) .

Dieses Ergebnis wird als Hauptsatz der Integralrechnung bezeichnet (siehe auch die Erweiterung auf Integralfunktionen). Der Hauptsatz ermöglicht die Berechnung von bestimmten Integralen ohne Rechtecksummierung mit anschließender Grenzwertbildung, wenn die Anti-Ableitung (Stammfunktion) von f ( x ) bekannt ist.

Beispiel

Zu Berechnen ist das bestimmte Integral

A = 0 π / 2 cos ( x ) d x .

Der Tabelle elementarer Anti-Ableitungen entnehmen wir, dass der Integrand f ( x ) = cos ( x ) die Anti-Ableitung F ( x ) = sin ( x ) besitzt. Damit wird

A = sin ( π / 2 ) - sin ( 0 ) = 1 = 0 π / 2 cos ( x ) d x .
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