zum Directory-modus

Riemannsches Integral

Berechnung von Unter - und Obersummen für y = x 2

Die folgenden Animationen verdeutlichen die angenäherte Berechnung der Fläche A unter der Kurve y = x 2 innerhalb der Grenzen x = a = 0 und x = b = 3 durch Summen von n Rechtecken. Je größer n ist, desto näher liegen die Summen an dem gesuchten Wert der Fläche. A = 9 Wahrer Wert der Fläche unter y = x 2 im Intervall [ a , b ] = [ 0 , 3 ]

Bitte Flash aktivieren.

Abb.1
Untersumme

Δ x = b - a n = 3 n m j = [ ( j - 1 ) Δ x ] 2 A u ( n ) = 3 n j = 1 n 3 ( j - 1 ) n 2

Bitte Flash aktivieren.

Abb.2
Obersumme

Δ x = b - a n = 3 n M j = ( j Δ x ) 2 A o ( n ) = 3 n j = 1 n 3 j n 2

Mittlere Summe

Die Aufteilung in Rechtecke kann drittens auch so geschehen, dass die Rechteckhöhen gleich den Funktionswerten in der Mitte jedes Δ x -Intervalls gesetzt werden.

Bitte Flash aktivieren.

Abb.3
Mittlere Summe

Δ x = b - a n = 3 n h j = [ ( j - 1 / 2 ) Δ x ] 2 A m ( n ) = 3 n j = 1 n 3 ( j - 1 / 2 ) n 2

Der Vergleich der drei Rechteck-Annäherungen zeigt, dass die mittlere Summe sich dem wirklichen Wert A = 9 sehr viel schneller nähert als die Unter- und Obersumme und für gleiche Rechteckzahl n den besten Näherungswert ergibt.

Abb.4

Konvergenz gegen den Grenzwert A = 9 für steigende Rechteckzahl im Intervall [ 0 , 3 ] : Untersumme (blau), Obersumme (grün) und mittlere Summe (rot)

Seite 3 von 4