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Riemannsches Integral

Beispiel: Grenzwertbildung für y = k x

Zu berechnen ist die Fläche A zwischen der Kurve y = k x und der x -Achse im Intervall [ a , b ] .

Abb.1
y = k x

Wir teilen das Intervall in n gleiche Teile der Größe Δ = ( b - a ) / n . Die kleinste Ordinate m j und größte Ordinate M j im i -ten Teilintervall sind gegeben durch

m j = k x j - 1 M j = k x j x j = a + j Δ j = 1 , 2 , , n .

Wir erhalten damit für die Untersumme A u

A u = j = 1 n m j Δ = j = 1 n k x j - 1 Δ = j = 1 n k ( a + ( j - 1 ) Δ ) Δ = ( k a Δ - k Δ 2 ) j = 1 n 1 + k Δ 2 j = 1 n j ,

und für die Obersumme A o

A o = j = 1 n M j Δ = j = 1 n k x j Δ = j = 1 n k ( a + j Δ ) Δ = k a Δ j = 1 n 1 + k Δ 2 j = 1 n j .

Mit Hilfe der Formeln

j = 1 n j = n ( n + 1 ) 2 , j = 1 n 1 = n

entsteht daraus

A u = k a Δ n - k Δ 2 n + k Δ 2 n ( n + 1 ) 2 = k a ( b - a ) + k ( b - a ) 2 2 - k ( b - a ) 2 2 n A o = A u + k ( b - a ) 2 n .

Der Grenzwert für n führt zur wahren Fläche A

A = lim n A u = lim n A o = k a ( b - a ) + k ( b - a ) 2 2 = k 2 ( b 2 - a 2 ) .

Dasselbe Ergebnis entsteht mittels der Anti-Ableitung (Stammfunktion) F ( x ) von f ( x ) = k x (siehe Beispiel y = k x ).

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