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Riemannsches Integral

Unbestimmtes Integral

Eine Funktion F ( x ) heißt Anti-Ableitung oder Stammfunktion zu einer gegebene Funktion f ( x ) , wenn F ' ( x ) = f ( x ) ist. Zwei Stammfunktionen derselben Funktion f ( x ) unterscheiden sich nur um eine Konstante C . Dies fassen wir im folgenden Satz zusammen.

Theorem
F ( x ) sei eine Stammfunktion zu f ( x ) in [ a , b ] . Dann ist 1. F ( x ) + C für jedes C eine Stammfunktion von f ( x ) in [ a , b ] oder 2. jede Stammfunktion von f ( x ) in [ a , b ] von der Form F ( x ) + C , C .

Mit F ( x ) + C sind also alle Funktionen gefunden, deren Ableitung f ( x ) ist. Jede solche Funktion heißt unbestimmtes Integral von f ( x ) und wird geschrieben

f ( x ) d x = F ( x ) + C .
Theorem
Die Zeichenfolge . . . d x ist als mathematisches Symbol für die Umkehroperation zur Ableitung aufzufassen, ebenso wie das Wurzelzeichen . . . die Umkehroperation zur Quadrierung darstellt: 4 = 2 kehrt 2 2 = 4 um.
Beispiel

Zu berechnen ist das unbestimmte Integral

I = x 2 d x .

Der Tabelle elementarer Anti-Ableitungen entnehmen wir, dass der Integrand f ( x ) = x 2 die Anti-Ableitung F ( x ) = x 3 / 3 besitzt. Es folgt

I = x 3 3 + C .
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