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Riemannsches Integral

Flächenberechnung II: Bestimmtes Integral als Summengrenzwert

Unser Ziel ist, auf mathematischem Weg die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen, die durch eine stetige Funktion y = f ( x ) beschrieben wird. Dafür existieren zwei Möglichkeiten: die Bildung des Grenzwertes einer Summe und das Aufsuchen einer Funktion, deren Ableitung gleich der gegebenen Funktion y = f ( x ) ist (Umkehr der Ableitung). Hier wird die erste Weg behandelt.

Wir betrachten zunächst eine im Intervall [ a , b ] positive stetige Funktion y = f ( x ) , d. h. ihr Graph verläuft ohne Sprünge und es ist f ( x ) 0 für alle x im gegebenen Intervall.

Abb.1
Fläche unter y = f ( x )

Die gesuchte Fläche A ist begrenzt durch den Graphen von y = f ( x ) (oben), die x -Achse (Abszisse, unten) und den beiden Vertikalen bei x = a und x = b (siehe (Abb. 1) ).

Ein Näherungswert für die Fläche A entsteht, wenn wir sie als Summe von n Rechtecken gleicher Breite Δ x = ( b - a ) / n mit n = 1 , 2 , 3 , . . . darstellen.

Abb.2
Unter- und Obersumme von Rechtecken für die Fläche unter y = f ( x )

Wie (Abb. 2) zeigt, kann die Fläche von unten oder oben angenähert werden. Die Höhe der Rechtecke ist dabei durch den Funktionswert zu Beginn bzw. am Ende des j -ten Intervalls gegeben, m j bzw. M j .

Untersumme A u ( n ) = j = 1 n m j Δ x m j = f ( a + j Δ x - Δ x ) Obersumme A o ( n ) = j = 1 n M j Δ x M j = f ( a + j Δ x )

Die Summe der unteren Rechtecke (Untersumme) wächst mit steigender Zahl n = 1 , 2 , 3 , . . . . Die Werte A u ( n ) bilden eine Folge, die nach oben durch die gesuchte Fläche A beschränkt ist. Die Summe der oberen Rechtecke (Obersumme) nimmt dagegen mit steigender Zahl n ab. Die Werte A o ( n ) bilden eine Folge, die nach unten durch A beschränkt ist. Es gilt

A u ( n ) A A o ( n ) .
  • Beispiel: Berechnung von Unter- und Obersummen für y = x 2

Wegen der Stetigkeit von f ( x ) haben die beiden Folgen A u ( n ) und A o ( n ) den gleichen Grenzwert für n :

lim n i = 1 n m i Δ x = lim n i = 1 n M i Δ x = A .
  • Beispiel: Grenzwertbildung für y = k x

Der gemeinsame Grenzwert ist die gesuchte Fläche A und wird wie folgt geschrieben:

A = lim Δ x 0 A u = lim Δ x 0 A o = lim Δ x 0 i = 1 n f ( x i ) Δ x = a b f ( x ) d x .

Unter Integration versteht man allgemein das Zusammenfügen von Teilen zu einem Ganzen. Die „Teile” sind hier die Rechtecke der infinitesimal kleinen Breite d x , das „Ganze” ist die gesuchte Fläche A . Der Grenzwert für A wird deswegen als bestimmtes Integral der Funktion f ( x ) in den Grenzen x = a und x = b bezeichnet. Der Integralwert A ist immer positiv, da oben f ( x ) positiv stetig angenommen wurde.

Das Integralzeichen entsteht durch Stilisierung des Summenzeichens . Die dem Integralzeichen folgende Funktion f ( x ) heißt Integrand. Die Größe x in f ( x ) und d x ist die Integrationsvariable. Das durch den obigen Grenzwert definierte Integral trägt den Namen Riemannsches Integral.

Bisher war angenommen, dass y = f ( x ) im Intervall [ a , b ] eine positive stetige Funktion ist. Wir betrachten nun ein Intervall [ c , d ] , in dem y = f ( x ) eine negative stetige Funktion ist. In diesem Fall sind die Höhen aller Rechtecke in der Unter- und Obersumme negativ. Folglich ergibt die Grenzwertbildung eine negative Fläche.

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