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Umkehr der Ableitung

Beispiel: Flächenberechnung mittels der Anti-Ableitung

Zu berechnen ist die Fläche A zwischen der Kurve y = k x und der x -Achse im Intervall [ a , b ] .

Abb.1
Fläche unter der Kurve y = k x

Zunächst bestimmen wir die Anti-Ableitung F ( x ) von f ( x ) = k x . Sie erfüllt die Bedingung

d F ( x ) + C d x = f ( x ) = k x .

Der Tabelle elementarer Anti-Ableitungen entnehmen wir

F ( x ) = k 2 x 2 .

Mit dieser Anti-Ableitung erhalten wir für die gesuchte Fläche

A = F ( b ) - F ( a ) = k 2 b 2 - a 2 .

Alternative Herleitung

Die Fläche A ist ein Trapez, dessen Flächeninhalt durch

A = k a + k b 2 ( b - a ) = k 2 ( b 2 - a 2 )

gegeben ist. Das Ergebnis stimmt mit dem obigen Resultat überein.

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