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Umkehr der Ableitung

Flächenberechnung I: Umkehr der Ableitung

Unser Ziel ist, auf mathematischem Weg die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen, die durch eine stetige Funktion y = f ( x ) beschrieben wird. Dafür existieren zwei Möglichkeiten: das Aufsuchen einer Funktion, deren Ableitung gleich der gegebenen Funktion y = f ( x ) ist (Umkehr der Ableitung) und die Bildung des Grenzwertes einer Summe. Hier wird der erste Weg behandelt.

Gesucht ist eine Gleichung für die Fläche A ( a , x ) zwischen der Kurve f ( x ) und der x -Achse im Intervall [ a , x ] ( (Abb. 1) , links).

Abb.1
Fläche unter einer Kurve

Erweitern wir die obere Grenze x um Δ x , so vergrößert sich die Fläche um Δ A . Diese Änderung ist näherungsweise gleich dem Trapez PQRS ( (Abb. 1) , rechts), dessen Fläche durch

A ( PQRS ) = f ( x ) Δ x + f ' ( x ) Δ x Δ x 1 2 Δ A

gegeben ist. Das geklammerte Produkt in Gl. (1) ergibt sich (für genügend kleine Δ x ) aus der Definition der Ableitung:

f ' ( x ) = lim Δ x 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x .

Teilung beider Seiten durch Δ x führt auf

Δ A Δ x f ( x ) + 1 2 f ' ( x ) Δ x .

Da f ( x ) eine stetige Funktion ist (siehe oben), bleibt ihre Ableitung endlich. Also können wir den Grenzwert bilden:

lim Δ x 0 Δ A Δ x = d A d x = f ( x ) .

Damit zeigt sich, dass die gesuchte Funktion A ( a , x ) jene Funktion ist, deren Ableitung die gegebene Funktion f ( x ) ist. Ihre allgemeine Form muss

A ( a , x ) = F ( x ) + C mit d { F ( x ) + C } d x = f ( x ) C

sein, wobei C eine von der unteren Grenze a abhängige Konstante ist.

Merke
f ( x ) entsteht durch Ableitung von F ( x ) + C , die Funktion F ( x ) andererseits aus f ( x ) durch Umkehr der Ableitung von f ( x ) und Ergänzung der Konstanten C . Demgemäß wird F ( x ) als Anti-Ableitung oder Stammfunktion von f ( x ) bezeichnet.

Die Konstante C ist bestimmt durch die Bedingung A ( a , a ) = 0 (siehe (Abb. 1) , links). Es gilt

A ( a , a ) = 0 = F ( a ) + C C = - F ( a ) .

Folglich ist die gesuchte Fläche A ( a , x ) gegeben durch

A ( a , x ) = F ( x ) - F ( a ) ,

womit für das feste Intervall [ a , b ]

A ( a , b ) = F ( b ) - F ( a ) im Intervall [ a , b ]

entsteht.

Damit haben wir einen mathematischen Weg zur Berechnung der Fläche unter der Kurve f ( x ) in einem Intervall [ a , b ] gefunden. Wir suchen die Stammfunktion F ( x ) in einer Tabelle auf und bilden die Differenz F ( b ) - F ( a ) . Es ist keine schwere Aufgabe, eine solche Tabelle elementarer Anti-Ableitungen mit Hilfe der Differenzialrechnung aufzustellen.

  • Beispiel: Fläche unter dem Graph der Funktion y = k x .
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