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Umkehr der Ableitung

Integration - Einführende Beispiele

Eine Standardaufgabe in den Naturwissenschaften ist, in der grafischen Darstellung einer Funktion y = f ( x ) die Fläche unter der Kurve im x -Intervall [ a , b ] zu bestimmen. Die mathematische Vorgehensweise dafür wird Integration genannt.

Beispiel 1: Bewegung eines Teilchens

Wir betrachten ein Teilchen, das sich längs eines geradlinigen Weges s mit der Geschwindigkeit v ( t ) bewegt. Der zurückgelegte Weg s ( t ) zur Zeit t ist durch den Flächeninhalt A zwischen der Kurve v ( t ) und der t -Achse gegeben (siehe (Abb. 1) ).

Abb.1

Bewegung eines Teilchens: (links) konstante Geschwindigkeit v , (rechts) konstante Beschleunigung g

In beiden Fällen lässt sich die Fläche A einfach bestimmen als ganzer bzw. halber Rechteckinhalt im t -Intervall [ 0 , τ ] . Es gilt s ( 0 ) = 0 und s ( τ ) = A . (a) konstante Geschwindigkeit

v = d s d t = konst. = s t s ( τ ) = A = v τ

(b) konstante Beschleunigung, z. B. freier Fall mit der Erdbeschleunigung g

v = d s d t = g t s ( τ ) = A = 1 2 v ( τ ) τ = 1 2 g τ 2

Beispiel 2: Erwärmung eines reinen Stoffes

Wir betrachten einen reinen Stoff. Seine Wärmekapazität bei konstantem Druck Cp ist temperaturabhängig (Abb. 2) . Führen wir ihm bei einer beliebigen Temperatur T eine sehr kleine Wärme d Q zu, so steigt seine Temperatur um d T . Es gilt

d Q = Cp ( T ) d T .

Die gesamte zugeführte Wärme Q zur T -Erhöhung 0 T ' ist durch die Fläche A zwischen der Kurve Cp ( T ) und der T -Achse im Intervall [ 0 , T ' ] gegeben.

Abb.2

Typischer T -Verlauf der Wärmekapazität Cp ( T ) eines reinen Stoffes

Steht eine genaue Waage zur Verfügung, so kann die Flächenbestimmung (Integration) ohne jegliche Mathematik durchgeführt werden. Wir tragen die Cp ( T ) -Werte gegen T auf Papier von gleichmäßiger Dichte auf und schneiden die Fläche über der Abzisse sorgfältig mit einer Schere aus. Die Masse dieses Papierstückes ist proportional zur Fläche A . Die Proportionalitätskonstante erhalten wir aus der Masse und bekannten Fläche eines Rechtecks aus dem gleichem Papier.

Schneller und genauer als die Wägemethode sind allerdings mathematische Verfahren der Integration.

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