1. Schritt

Das Maximum von $\mathit{W}$ ist auch das Maximum von $ln\mathit{W}$. Wir wenden bei der Berechnung von $ln\mathit{W}$ die Stirling´sche Formel an:

$$ln\mathit{N}!\approx \mathit{N}\cdot ln\mathit{N}-\mathit{N}.$$

Es folgt

$$ln\mathit{W}=\mathit{N}\cdot ln\mathit{N}-\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}{\mathit{N}}_{\mathit{k}}\cdot ln{\mathit{N}}_{\mathit{k}}.$$

2. Schritt

Änderung von $ln\mathit{W}$ mit Änderungen $\text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{k}}$

$$\text{d}(ln\mathit{W})=\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}\left(\frac{\partial ln\mathit{W}}{\partial {\mathit{N}}_{\mathit{k}}}\right)\cdot \text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{k}}=\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}-ln{\mathit{x}}_{\mathit{k}}\cdot \text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{k}}\text{mit}{\mathit{x}}_{\mathit{k}}=\frac{{\mathit{N}}_{\mathit{k}}}{\mathit{N}},$$

wobei

$$\begin{array}{lll}\frac{\partial ln\mathit{W}}{\partial {\mathit{N}}_{\mathit{k}}}& =& \frac{\partial \mathit{N}}{\partial {\mathit{N}}_{\mathit{k}}}\cdot ln\mathit{N}+\mathit{N}\cdot \frac{\partial ln\mathit{N}}{\partial {\mathit{N}}_{\mathit{k}}}-\frac{\partial {\mathit{N}}_{\mathit{k}}}{\partial {\mathit{N}}_{\mathit{k}}}\cdot ln{\mathit{N}}_{\mathit{k}}-{\mathit{N}}_{\mathit{k}}\cdot \frac{\partial ln{\mathit{N}}_{\mathit{k}}}{\partial {\mathit{N}}_{\mathit{k}}}\\ & =& 1\cdot ln\mathit{N}+\mathit{N}\cdot \frac{1}{\mathit{N}}-1\cdot ln{\mathit{N}}_{\mathit{k}}-{\mathit{N}}_{\mathit{k}}\cdot \frac{1}{{\mathit{N}}_{\mathit{k}}}\\ & =& -ln\frac{{\mathit{N}}_{\mathit{k}}}{\mathit{N}} .\end{array}$$

3. Schritt

Im Maximum von $ln\mathit{W}$ ist $\text{d}(ln\mathit{W})=0$, wenn wir Änderungen $\text{d}{\mathit{N}}_1,\text{d}{\mathit{N}}_2,\dots ,\text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{K}}$ der Werte ${\mathit{N}}_1,{\mathit{N}}_2,\dots ,{\mathit{N}}_{\mathit{K}}$ an der Stelle des Maximums vornehmen. Diese Änderungen sind beliebig bis auf die sich aus obigen Nebenbedingungen ableitenden Einschränkungen:

$$\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}\text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{k}}=0\text{und}\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}{\mathit{E}}_{\mathit{k}}\cdot \text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{k}}=0\text{ .}$$

4. Schritt

Nebenbedingungen werden bei der Variation von $ln\mathit{W}$ gemäß der Methode der Lagrangefaktoren berücksichtigt. Dies geschieht für die obigen Bedingungen mit den Konstanten $\alpha$ und $-\beta$ ($\beta >0$), die noch unbekannt sind. Die zweite Konstante ist derart gewählt, dass die ${\mathit{N}}_{\mathit{k}}$ mit steigenden ${\mathit{E}}_{\mathit{k}}$-Werten abnehmen. Dann gilt:

$$\begin{array}{lll}\text{d}(ln\mathit{W})& =& \sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}-ln{\mathit{x}}_{\mathit{k}}\cdot \text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{k}}+\alpha \cdot \sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}\text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{k}}-\beta \cdot \sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}{\mathit{E}}_{\mathit{k}}\cdot \text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{k}}\\ & =& \sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}\left(-ln{\mathit{x}}_{\mathit{k}}+\alpha -\beta \cdot {\mathit{E}}_{\mathit{k}}\right)\cdot \text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{k}}\text{ .}\end{array}$$

Ergebnis

Soll $\text{d}ln\mathit{W}$ Null sein, so ist dies für beliebige Änderungen $\text{d}{\mathit{N}}_1,\text{d}{\mathit{N}}_2,\dots ,\text{d}{\mathit{N}}_{\mathit{K}}$ nur möglich, wenn die Werte ${\mathit{N}}_1,{\mathit{N}}_2,\dots ,{\mathit{N}}_{\mathit{K}}$ an der Stelle des Maximums alle Klammern null machen. Also gilt mit obiger Definition ${\mathit{x}}_{\mathit{k}}={\mathit{N}}_{\mathit{k}}/\mathit{N}$:

$$-ln({\mathit{N}}_{\mathit{k}}/\mathit{N})+\alpha -\beta \cdot {\mathit{E}}_{\mathit{k}}=0$$

oder

$${\mathit{N}}_{\mathit{k}}=\mathit{N}{\text{e}}^{\propto -\beta {\mathit{E}}_{\mathit{k}}}.$$