Extremwerte mit Nebenbedingungen
Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren - ein Beispiel aus der Chemie
Eine Fragestellung der Chemie ergibt sich aus folgendem Ansatz:
- Es existieren insgesamt unterscheidbare Teilchen.
- Jedes Teilchen kann bezüglich einer Eigenschaft (z.B. seiner Energie) einen der Werte annehmen.
- ist die Zahl der Teilchen mit der Eigenschaft , die Gesamtheit spezifiziert eine bestimmte Verteilung der Teilchen.
- Die Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten, die Teilchen auf die verschiedenen Energiezustände zu verteilen, ist gegeben durch die Funktion ist eine Funktion von Variablen .
Gesucht ist das Maximum von , also die wahrscheinlichste Teilchenverteilung, mit den Nebenbedingungen
1. Schritt
Das Maximum von ist auch das Maximum von . Wir wenden bei der Berechnung von die Stirling´sche Formel an:
Es folgt
2. Schritt
Änderung von mit Änderungen
wobei
3. Schritt
Im Maximum von ist , wenn wir Änderungen der Werte an der Stelle des Maximums vornehmen. Diese Änderungen sind beliebig bis auf die sich aus obigen Nebenbedingungen ableitenden Einschränkungen:
4. Schritt
Nebenbedingungen werden bei der Variation von gemäß der Methode der Lagrangefaktoren berücksichtigt. Dies geschieht für die obigen Bedingungen mit den Konstanten und (), die noch unbekannt sind. Die zweite Konstante ist derart gewählt, dass die mit steigenden -Werten abnehmen. Dann gilt:
Ergebnis
Soll Null sein, so ist dies für beliebige Änderungen nur möglich, wenn die Werte an der Stelle des Maximums alle Klammern null machen. Also gilt mit obiger Definition :
oder