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Extremwerte mit Nebenbedingungen

Methode der Lagrange´schen Multiplikatoren - Allgemeiner Fall

Formal folgt dasselbe Ergebnis, wenn man aus den beiden Funktionen z = f ( x , y ) und ϕ ( x , y ) = 0 die Hilfsfunktion

F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ ϕ ( x , y )

bildet und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null setzt:

F x = f x + λ ϕ x = 0 F y = f y + λ ϕ y = 0 F λ = ϕ = 0.

Diese Formulierung ist zweckmäßig bei Funktionen von mehr als zwei Variablen und bei der Existenz mehrerer Nebenbedingungen.

Allgemeiner Fall - Funktion von N Variablen unter M Nebenbedingungen

Sei z = f ( x 1 , x 2 , , x N ) eine Funktion von N Variablen, deren Extremwerte M Nebenbedingungen

ϕ 1 ( x 1 , x 2 , , x N ) = 0 ϕ M ( x 1 , x 2 , , x N ) = 0

unterworfen sind ( 1 M < N ) . Daraus bildet man mittels M Lagrange´scher Multiplikatoren λ 1 , , λ M die Hilfsfunktion

F ( x 1 , x 2 , , x N , λ 1 , λ 2 , , λ M ) = f + i = 1 M λ i ϕ i .

Am Ort des Extremums ist d F = 0 , und man erhält

F x 1 = f x 1 + i = 1 M λ i ϕ i x 1 = 0 F x N = f x N + i = 1 M λ i ϕ i x N = 0 N Gleichungen

und

F λ 1 = ϕ 1 = 0 F λ M = ϕ M = 0 M Gleichungen.

Man kann die N + M Unbekannten x 1 , x 2 , , x N , λ 1 , λ 2 , , λ M aus diesem Gleichungssystem von N + M Gleichungen bestimmen.

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