Methode der Lagrange´schen Multiplikatoren

Wir suchen eine allgemeine Lösung des Problems der Bestimmung des Extremums der Funktion $\mathit{z}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})$ bei Gültigkeit der Nebenbedingung $\varphi (\mathit{x},\mathit{y})=0$. Die Methode der Lagrange´schen Multiplikatoren ist ein Weg zur Lösung des Problems. Am Ort des Extremums ist die Änderung $\text{d}\mathit{z}$ Null

$$\text{d}\mathit{z}={\mathit{f}}_{\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}+{\mathit{f}}_{\mathit{y}}\text{d}\mathit{y}=0.$$

Aus $\varphi (\mathit{x},\mathit{y})=0$ folgt

$$\text{d}\varphi ={\varphi }_{\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}+{\varphi }_{\mathit{y}}\text{d}\mathit{y}=0.$$

Die Differenziale $\text{d}\mathit{x}$ und $\text{d}\mathit{y}$ sind nicht unabhängig voneinander. Um die Gleichungen zu lösen, addieren wir beide Gleichungen unter Einführung einer beliebigen reellen Zahl $\lambda$, die als Lagrange´scher Multiplikator bezeichnet wird:

$$({\mathit{f}}_{\mathit{x}}+\lambda {\varphi }_{\mathit{x}})\text{d}\mathit{x}+({\mathit{f}}_{\mathit{y}}+\lambda {\varphi }_{\mathit{y}})\text{d}\mathit{y}=0.$$

Nun bestimmen wir $\lambda$ so, dass

$${\mathit{f}}_{\mathit{y}}+\lambda {\varphi }_{\mathit{y}}=0$$

gilt. Dann muss an der Stelle des Extremwerts auch der Koeffizient von $\text{d}\mathit{x}$ verschwinden, da $\text{d}\mathit{x}$ beliebig ist, d.h.

$${\mathit{f}}_{\mathit{x}}+\lambda {\varphi }_{\mathit{x}}=0.$$

Am Ort des Extremums gelten insgesamt die drei Gleichungen

$$\begin{array}{lcl}{\mathit{f}}_{\mathit{x}}+\lambda {\varphi }_{\mathit{x}}& =& 0\\ {\mathit{f}}_{\mathit{y}}+\lambda {\varphi }_{\mathit{y}}& =& 0\\ \varphi (\mathit{x},\mathit{y})& =& 0,\end{array}$$

mit denen die drei Unbekannten $\lambda$, $\mathit{x}$ und $\mathit{y}$ berechnet werden können.

Beispiel

Welches Rechteck mit Umfang $\mathit{a}$ besitzt den größten Flächeninhalt? Anders formuliert, wir brauchen das Extremum von $\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})=\mathit{x}\mathit{y}$ unter der Nebenbedingung $\varphi (\mathit{x},\mathit{y})=2\mathit{x}\mathrm{+2}\mathit{y}-\mathit{a}=0$. Durch Einführung eines Lagrange´schen Multiplikators $\lambda$ folgt aus

$$\left. \begin{array}{rclcl}{\mathit{f}}_{\mathit{x}}+\lambda {\varphi }_{\mathit{x}}& =& \mathit{y}+2\lambda & =& 0\\ {\mathit{f}}_{\mathit{y}}+\lambda {\varphi }_{\mathit{y}}& =& \mathit{x}+2\lambda & =& 0\end{array}\right\}\Rightarrow \mathit{x}=\mathit{y}$$

und

$$\varphi =2\mathit{x}+2\mathit{y}-\mathit{a}\Rightarrow \mathit{x}=\mathit{y}=\mathit{a}/4.$$