Extremwerte mit Nebenbedingungen
Methode der Lagrange´schen Multiplikatoren
Wir suchen eine allgemeine Lösung des Problems der Bestimmung des Extremums der Funktion bei Gültigkeit der Nebenbedingung . Die Methode der Lagrange´schen Multiplikatoren ist ein Weg zur Lösung des Problems. Am Ort des Extremums ist die Änderung Null
Aus folgt
Die Differenziale und sind nicht unabhängig voneinander. Um die Gleichungen zu lösen, addieren wir beide Gleichungen unter Einführung einer beliebigen reellen Zahl , die als Lagrange´scher Multiplikator bezeichnet wird:
Nun bestimmen wir so, dass
gilt. Dann muss an der Stelle des Extremwerts auch der Koeffizient von verschwinden, da beliebig ist, d.h.
Am Ort des Extremums gelten insgesamt die drei Gleichungen
mit denen die drei Unbekannten , und berechnet werden können.
- Beispiel
Welches Rechteck mit Umfang besitzt den größten Flächeninhalt? Anders formuliert, wir brauchen das Extremum von unter der Nebenbedingung . Durch Einführung eines Lagrange´schen Multiplikators folgt aus
und