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Extremwerte mit Nebenbedingungen

Methode der Lagrange´schen Multiplikatoren

Wir suchen eine allgemeine Lösung des Problems der Bestimmung des Extremums der Funktion z = f ( x , y ) bei Gültigkeit der Nebenbedingung ϕ ( x , y ) = 0 . Die Methode der Lagrange´schen Multiplikatoren ist ein Weg zur Lösung des Problems. Am Ort des Extremums ist die Änderung d z Null

d z = f x d x + f y d y = 0.

Aus ϕ ( x , y ) = 0 folgt

d ϕ = ϕ x d x + ϕ y d y = 0.

Die Differenziale d x und d y sind nicht unabhängig voneinander. Um die Gleichungen zu lösen, addieren wir beide Gleichungen unter Einführung einer beliebigen reellen Zahl λ , die als Lagrange´scher Multiplikator bezeichnet wird:

( f x + λ ϕ x ) d x + ( f y + λ ϕ y ) d y = 0.

Nun bestimmen wir λ so, dass

f y + λ ϕ y = 0

gilt. Dann muss an der Stelle des Extremwerts auch der Koeffizient von d x verschwinden, da d x beliebig ist, d.h.

f x + λ ϕ x = 0.

Am Ort des Extremums gelten insgesamt die drei Gleichungen

f x + λ ϕ x = 0 f y + λ ϕ y = 0 ϕ ( x , y ) = 0 ,

mit denen die drei Unbekannten λ , x und y berechnet werden können.

Beispiel

Welches Rechteck mit Umfang a besitzt den größten Flächeninhalt? Anders formuliert, wir brauchen das Extremum von f ( x , y ) = x y unter der Nebenbedingung ϕ ( x , y ) = 2 x +2 y - a = 0 . Durch Einführung eines Lagrange´schen Multiplikators λ folgt aus

f x + λ ϕ x = y + 2 λ = 0 f y + λ ϕ y = x + 2 λ = 0 x = y

und

ϕ = 2 x + 2 y - a x = y = a / 4.
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