Extremwerte mit Nebenbedingungen
Zurückführung auf die Bestimmung der Extremwerte einer Funktion einer Variablen
Wir möchten das Extremum der Funktion bestimmen, wobei und einer Nebenbedingung unterliegen. Wenn man die Nebenbedingung nach auflösen kann, d.h. eine explizite Darstellung möglich ist, z.B.
so erhält man durch Einsetzen von in die Ausgangsfunktion eine neue Funktion , d.h.
Da nur von einer Variablen abhängt, folgen die Extremwerte aus
- Beispiel
Welches Rechteck mit Umfang besitzt den größten Flächeninhalt?
Mit anderen Worten, man muss das Maximum der Flächeninhaltsfunktion unter Berücksichtigung der Nebenbedingung finden. Da , ist
Die Extremwerte ergeben sich aus
Es ist also
d.h. ein Quadrat besitzt den größten Flächeninhalt.