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Extremwerte mit Nebenbedingungen

Zurückführung auf die Bestimmung der Extremwerte einer Funktion einer Variablen

Wir möchten das Extremum der Funktion z = f ( x , y ) bestimmen, wobei x und y einer Nebenbedingung ϕ ( x , y ) = 0 unterliegen. Wenn man die Nebenbedingung ϕ ( x , y ) = 0 nach y auflösen kann, d.h. eine explizite Darstellung y = ψ ( x ) möglich ist, z.B.

ϕ ( x , y ) = y - x - 1 = 0 y = ψ ( x ) = x + 1 ,

so erhält man durch Einsetzen von y = ψ ( x ) in die Ausgangsfunktion z = f ( x , y ) eine neue Funktion z = f ( x , y ) = f ( x , ψ ( x ) ) = F ( x ) , d.h.

z = x 2 + y 2 = x 2 + ( x + 1 ) 2 = F ( x ) .

Da z = F ( x ) nur von einer Variablen abhängt, folgen die Extremwerte aus

d z d x = 0 und ϕ ( x , y ) = 0.
Beispiel

Welches Rechteck mit Umfang a besitzt den größten Flächeninhalt?

Mit anderen Worten, man muss das Maximum der Flächeninhaltsfunktion A = f ( x , y ) = x y unter Berücksichtigung der Nebenbedingung ϕ ( x , y ) = 2 x +2 y - a = 0 finden. Da y = ( a -2 x ) / 2 , ist

A = x y = x 1 2 ( a - 2 x ) = a x 2 - x 2 .

Die Extremwerte ergeben sich aus

d A d x = a 2 - 2 x = 0 und 2 x +2 y - a = 0.

Es ist also

x = a 4 , y = 1 2 ( a - a 2 ) = a 4 ,

d.h. ein Quadrat besitzt den größten Flächeninhalt.

Abb.1
Rechteck
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