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Extremwerte mit Nebenbedingungen

Zurückführung auf die Bestimmung der Extremwerte einer Funktion einer Variablen

Wir möchten das Extremum der Funktion $z = f (x, y)$ bestimmen, wobei $x$ und $y$ einer Nebenbedingung $ϕ (x, y) = 0$ unterliegen. Wenn man die Nebenbedingung $ϕ (x, y) = 0$ nach $y$ auflösen kann, d.h. eine explizite Darstellung $y = ψ (x)$ möglich ist, z.B.

\begin{array}{rclcl} ϕ (x, y) & = & y - x - 1 & = & 0 \\ \Rightarrow y & = & ψ (x) & = & x + 1, \end{array}

so erhält man durch Einsetzen von $y = ψ (x)$ in die Ausgangsfunktion $z = f (x, y)$ eine neue Funktion $z = f (x, y) = f (x, ψ (x)) = F (x)$ , d.h.

z = x^{2} + y^{2} = x^{2} + (x + 1)^{2} = F (x) .

Da $z = F (x)$ nur von einer Variablen abhängt, folgen die Extremwerte aus

\frac{d z}{d x} = 0 und ϕ (x, y) = 0.

Beispiel

Abb.1: Rechteck

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