Extremwerte mit Nebenbedingungen - Einleitung

Häufig tritt das Problem auf, dass man die Extremwerte einer Funktion $\mathit{z}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})$ berechnen möchte, wobei die Variablen der Funktion nicht unabhängig voneinander, sondern einer Nebenbedingung $\varphi (\mathit{x},\mathit{y})=0$ unterworfen sind, z.B.

$$\mathit{z}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})={\mathit{x}}^2+{\mathit{y}}^2\text{mit}\varphi (\mathit{x},\mathit{y})=\mathit{y}-\mathit{x}-1=0.$$

Graphisch gesehen entspricht die Funktion $\varphi (\mathit{x},\mathit{y})=0$ einer Geraden, die in (Abb. 1) als eine Ebene gezeichnet ist. Da $\varphi (\mathit{x},\mathit{y})$ keine Funktion von $\mathit{z}$ ist, verläuft $\varphi (\mathit{x},\mathit{y})$ parallel zur $\mathit{z}$-Achse. Man sucht ein Extremum der Schnittkurve der beiden Graphen von $\mathit{z}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})$ und $\varphi (\mathit{x},\mathit{y})=0$.

Wir werden zwei mögliche Verfahren zur Lösung dieses Problems vorstellen:

1. Zurückführung auf die Bestimmung der Extremwerte einer Funktion einer Variablen. Dies ist möglich, wenn $\varphi (\mathit{x},\mathit{y})=0$ nach $\mathit{y}$ auflösbar ist.
2. Methode der Lagrange´schen Multiplikatoren

Die Aufgabe, ein Extremum einer Funktion mit oder ohne Nebenbedingungen zu finden, heißt eine Optimierungsaufgabe. Die Nebenbedingungen haben die Form von Gleichungen oder auch von Ungleichungen in den Funktionsvariablen. Sind die zu optimierende Funktion und alle der Nebenbedingungen in den Variablen linear, so liegt eine lineare Optimierungsaufgabe vor.