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Fehlerrechnung

Beispiele

Hier werden die maximalen Fehler für einige häufig auftretende Funktionen der Form z = f ( x , y ) berechnet, wobei x und y unabhängige messbare Größen darstellen.

Δ z max = | f x ( x ¯ , y ¯ ) Δ x | + | f y ( x ¯ , y ¯ ) Δ y |
  1. Summenfunktion z = x ± y . Die partiellen Ableitungen sind f x = 1 f y = ± 1 , und der maximale Fehler Δ z max = | Δ x | + | Δ y | d.h. die absoluten Fehler addieren sich.
  2. Produktfunktion z = k x y . Die partiellen Ableitungen sind f x = k y f y = k x , und der maximale Fehler Δ z max = | k y ¯ Δ x | + | k x ¯ Δ y | Teilen wir beide Seiten durch z ¯ = k x ¯ y ¯ , erhalten wir | Δ z max z ¯ | = | Δ x x ¯ | + | Δ y y ¯ | d.h. die relativen Fehler addieren sich.
  3. Quotientenfunktion z = k x / y . Die partiellen Ableitungen sind f x = k y f y = k x , und der maximale Fehler Δ z max = | k y ¯ Δ x | + | k x ¯ Δ y | Teilen wir beide Seiten durch z ¯ = k x ¯ / y ¯ , erhalten wir | Δ z max z ¯ | = | Δ x x ¯ | + | Δ y y ¯ | , d.h. die relativen Fehler addieren sich.
  4. Potenzfunktion z = k x α y β . Die partiellen Ableitungen sind f x = k α x α - 1 y β f y = k β x α y β -1 , und der maximale Fehler Δ z max = | k α x ¯ α - 1 y ¯ β Δ x | + | k β x ¯ α y ¯ β -1 Δ y | Teilen wir beide Seiten durch z ¯ = k x ¯ α y ¯ β , erhalten wir | Δ z max z ¯ | = | α Δ x x ¯ | + | β Δ y y ¯ |  .
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