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Fehlerrechnung

Messunsicherheitsrechnung durch partielle Ableitungen

Der Fehler Δ z lässt sich mit Hilfe des totalen Differenzials der Funktion z = f ( x , y ) ermitteln. An der Stelle ( x ¯ , y ¯ )

d z = f x ( x ¯ , y ¯ ) d x + f y ( x ¯ , y ¯ ) d y

Die Differenziale d x und d y lassen sich nun als Messfehler Δ x und Δ y der Messgrößen x und y deuten, angenommen, dass die Größen x und y unabhängig voneinander und Δ x x ¯ , Δ y y ¯ sind. Folglich lautet der Fehler der Größe z

Δ z = f x ( x ¯ , y ¯ ) Δ x + f y ( x ¯ , y ¯ ) Δ y  .

Den maximalen Fehler definiert man durch

Lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz
Δ z max = | f x ( x ¯ , y ¯ ) Δ x | + | f y ( x ¯ , y ¯ ) Δ y |  

d.h. die Einzelfehler addieren sich. Dann lautet das Messergebnis für z

z = z ¯ ± Δ z max .

Diese Prozedur lässt sich für Funktionen von N unabhängigen Größen verallgemeinern. Sei y = f ( x 1 , x 2 , , x N ) ein funktionaler Zusammenhang zwischen y und N messbaren Größen x 1 , x 2 , , x N . Dann gilt

y ¯ = f ( x 1 ¯ , x 2 ¯ , , x N ¯ ) Δ y max = | f x 1 ¯ Δ x 1 | + | f x 2 ¯ Δ x 2 | + + | f x N ¯ Δ x N |

Das Messergebnis für y ist

y = y ¯ ± Δ y max .
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