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Fehlerrechnung

Einführung - Messabweichungen

Jede Messung des Wertes einer physikalischen Größe ist mit einer Messabweichung oder einem Fehler behaftet. Folglich liefert eine n -mal wiederholte Messung der Größe x genau n von x abweichende Einzelwerte x 1 , x 2 , , x n . Der Näherungswert für den wahren Wert x ist durch das arithmetische Mittel x ¯ gegeben

x ¯ = 1 n i=1 n x i

Das Genauigkeitsmaß für den Mittelwert ist durch die Standardabweichung s x ¯ des Mittelwertes gegeben

s x ¯ = 1 n ( n -1 ) i = 1 n ( x i - x ¯ ) 2 .

Man verwendet s x ¯ für die Messunsicherheit oder den Fehler Δ x der Größe x , d.h. Δ x = s x ¯ . Also lautet das Messergebnis

x = x ¯ ± Δ x .

Der relative und prozentuale Fehler in x sind folgendermaßen definiert

Δ x x ¯ relative Fehler Δ x x ¯ × 100 % prozentuale Fehler.

Sie sind dimensionslos.

Indirekte Messgröße

Besteht ein funktionaler Zusammenhang zwischen drei Größen x , y und z , nämlich

z = f ( x , y ) ,

lässt sich der Fehler in z indirekt durch die Fehler in x und y bestimmen. Dies könnte der Fall sein, wenn eine direkte Messung von z im Gegensatz zu der Ermittlung von x und y sehr schwer wäre. Liegen die Messergebnisse von x und y vor

x = x ¯ ± Δ x y = y ¯ ± Δ y ,

suchen wir das indirekte Messergebnis von z

z = z ¯ ± Δ z .

Der Mittelwert z ¯ lässt sich wie folgt berechnen

z ¯ = f ( x ¯ , y ¯ ) .

Der Fehler Δ z lässt sich mit Hilfe des totalen Differenzials der Funktion z = f ( x , y ) ermitteln.

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