Bestimmung von Extremwerten von Funktionen zweier Veränderlicher

Wie finden wir nun die Extremwerte? Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein:

Notwendige Bedingung

Tangentialebene parallel zur $\mathit{x}$, $\mathit{y}$-Ebene; formuliert als Gleichung ergibt sich$$\frac{\partial \mathit{f}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)}{\partial \mathit{x}}=0=\frac{\partial \mathit{f}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)}{\partial \mathit{y}}\text{ .}$$

Hinreichende Bedingung

Zur Formulierung benutzen wir die Taylor-Reihe $$\begin{array}{lll}\mathit{f}({\mathit{x}}_0+\Delta \mathit{x},{\mathit{y}}_0+\Delta \mathit{y})& =& \mathit{f}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)+\Delta \mathit{x}\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)+\Delta \mathit{y}\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\\ & +& \frac{1}{2!}\left(\Delta {\mathit{x}}^2\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)+2\Delta \mathit{x}\Delta \mathit{y}\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)+\Delta {\mathit{y}}^2\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{y}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\right)+\dots \end{array}$$

Im Allgemeinen reicht es aus, wenn man nach der zweiten Ableitung abbricht; wir wollen lediglich ein Vorzeichen bestimmen und können $\Delta \mathit{x}$ und $\Delta \mathit{y}$ beliebig klein wählen, sodass Terme mit $(\Delta \mathit{x}{)}^3$, $(\Delta \mathit{y}{)}^3$ etc. vernachlässigbar werden. Nach obiger Bedingung ist ${\mathit{f}}_{\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)={\mathit{f}}_{\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)=0\text{ .}$ Wir erhalten

$$\mathit{f}({\mathit{x}}_0+\Delta \mathit{x},{\mathit{y}}_0+\Delta \mathit{y})-\mathit{f}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\approx \frac{1}{2}\left[\Delta {\mathit{x}}^2\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)+2\Delta \mathit{x}\Delta \mathit{y}\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)+\Delta {\mathit{y}}^2\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{y}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\right]$$

Dieser Ausdruck ist eine so genannte quadratische Form

$$\mathit{Q}=\frac{1}{2}\left[\mathit{a}\Delta {\mathit{x}}^2+2\mathit{b}\Delta \mathit{x}\Delta \mathit{y}+\mathit{c}\Delta {\mathit{y}}^2\right],$$

wobei

$$\begin{array}{lll}\mathit{a}& =& {\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\\ \mathit{b}& =& {\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\\ \mathit{c}& =& {\mathit{f}}_{\mathit{y}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0).\end{array}$$

Wir nehmen eine quadratische Ergänzung vor.

$$\begin{array}{lll}\mathit{Q}& =& \frac{\mathit{a}}{2}\left\{\Delta {\mathit{x}}^2+2\frac{\mathit{b}}{\mathit{a}}\Delta \mathit{x}\Delta \mathit{y}+\frac{\mathit{c}}{\mathit{a}}\Delta {\mathit{y}}^2+\frac{{\mathit{b}}^2}{{\mathit{a}}^2}\Delta {\mathit{y}}^2-\frac{{\mathit{b}}^2}{{\mathit{a}}^2}\Delta {\mathit{y}}^2\right\}\\ & =& \frac{\mathit{a}}{2}\left\{{\left(\Delta \mathit{x}+\frac{\mathit{b}}{\mathit{a}}\Delta \mathit{y}\right)}^2+\left(\frac{\mathit{a}\mathit{c}-{\mathit{b}}^2}{{\mathit{a}}^2}\right)\Delta {\mathit{y}}^2\right\}\text{ .}\end{array}$$

Der quadratische erste Ausdruck ist immer $\ge 0$; maßgeblich für das Vorzeichen von $\mathit{Q}$ sind also die Terme $(\mathit{a}\mathit{c}-{\mathit{b}}^2)$ und $\mathit{a}$ (vor der Klammer).

Wir erstellen nun eine Tabelle.

Eine Anleitung zur Bestimmung von Extremwerten hat demnach folgendes Aussehen:

1. Bilde ${\mathit{f}}_{\mathit{x}}$ und ${\mathit{f}}_{\mathit{y}}$ und berechne deren Nullstellen-Verdachtsstellen ${\mathit{x}}_0$, ${\mathit{y}}_0$
2. Berechne ${\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)$, ${\mathit{f}}_{\mathit{y}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)$ und ${\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)$
3. Ermittle das Vorzeichen von ${\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{y}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)-{\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0{)}^2$ und ${\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)$

Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Minimum an der Stelle ${\mathit{x}}_0$, ${\mathit{y}}_0$ ist

$${\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)>0\text{und}{\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{y}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)-{\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0{)}^2>0,$$

d.h. die quadratische Form $\mathit{Q}$ ist positiv definit.

Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Maximum an der Stelle ${\mathit{x}}_0$, ${\mathit{y}}_0$ ist

$${\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)<0\text{und}{\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{y}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)-{\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0{)}^2>0,$$

d.h. die quadratische Form $\mathit{Q}$ ist negativ definit.

Eine hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt an der Stelle ${\mathit{x}}_0$, ${\mathit{y}}_0$ ist

$${\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{y}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)-{\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0{)}^2<0,$$

d.h. das Vorzeichen von $\mathit{Q}$ kann negativ und positiv sein.

Wenn

$${\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\cdot {\mathit{f}}_{\mathit{y}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)-{\mathit{f}}_{\mathit{x}\mathit{y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0{)}^2=0$$

ist $\mathit{Q}$ semidefinit, so müssen die Ableitungen von höherer als der zweiten Ordnung untersucht werden, um die Art des Extremums festzustellen. Dies entspricht dem Falle einer Funktion einer Variable, bei der die Ableitung zweiter Ordnung $\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)$ an einem Stationärpunkt ${\mathit{x}}_0$ verschwindet.