Extremwerte von Funktionen zweier Veränderlicher
Bestimmung von Extremwerten von Funktionen zweier Veränderlicher
Wie finden wir nun die Extremwerte? Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein:
- Notwendige Bedingung
- Tangentialebene parallel zur , -Ebene; formuliert als Gleichung ergibt sich
- Hinreichende Bedingung
- Zur Formulierung benutzen wir die Taylor-Reihe
Im Allgemeinen reicht es aus, wenn man nach der zweiten Ableitung abbricht; wir wollen lediglich ein Vorzeichen bestimmen und können und beliebig klein wählen, sodass Terme mit , etc. vernachlässigbar werden. Nach obiger Bedingung ist Wir erhalten
Dieser Ausdruck ist eine so genannte quadratische Form
wobei
Wir nehmen eine quadratische Ergänzung vor.
Der quadratische erste Ausdruck ist immer ; maßgeblich für das Vorzeichen von sind also die Terme und (vor der Klammer).
Wir erstellen nun eine Tabelle.
- Tab.1
- Vorzeichen von Q
ac - b2 | a | Charakter von Q |
---|---|---|
> 0 | > 0 | Q > 0, positiv definit |
> 0 | < 0 | Q > 0, negativ definit |
0 | > 0 | Q ≥ 0, positiv semidefinit |
0 | < 0 | Q ≤ 0, negativ semidefinit |
< 0 | Q indefinit |
Eine Anleitung zur Bestimmung von Extremwerten hat demnach folgendes Aussehen:
- Bilde und und berechne deren Nullstellen-Verdachtsstellen ,
- Berechne , und
- Ermittle das Vorzeichen von und
Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Minimum an der Stelle , ist
d.h. die quadratische Form ist positiv definit.
Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Maximum an der Stelle , ist
d.h. die quadratische Form ist negativ definit.
Eine hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt an der Stelle , ist
d.h. das Vorzeichen von kann negativ und positiv sein.
Wenn
ist semidefinit, so müssen die Ableitungen von höherer als der zweiten Ordnung untersucht werden, um die Art des Extremums festzustellen. Dies entspricht dem Falle einer Funktion einer Variable, bei der die Ableitung zweiter Ordnung an einem Stationärpunkt verschwindet.