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Extremwerte von Funktionen zweier Veränderlicher

Extremwerte von Funktionen zweier Veränderlicher

Sei z = f ( x , y ) , dann liegt bei x 0 , y 0 ein Extremwert vor, wenn gilt

f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) - f ( x 0 , y 0 ) < 0 Maximum > 0 Minimum

für beliebige Kombinationen Δ x , Δ y (außer: Δ x = Δ y = 0 ).

Abb.1
Minimum
Abb.2
Maximum

Die Ebenen in (Abb. 1) und (Abb. 2) sind die Tangentialebenen parallel zur x , y -Ebene. Die Existenz einer Tangentialebene parallel zur x , y -Ebene ist notwendig, aber nicht hinreichend für das Vorliegen eines Extremwertes. Folgende Bilder belegen diese Feststellung:

Abb.3
Sattelpunkt

Bei (Abb. 4) und (Abb. 5) handelt es sich weder um Extremwerte noch um Sattelpunkte.

Abb.4
Abb.5
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