zum Directory-modus

Mittelwertsatz und Taylor-Reihe für Funktionen mehrerer Variablen

Taylor-Reihe für Funktionen zweier Veränderlicher

Zur Herleitung der Taylor-Reihe benutzen wir die gleichen Beziehung (den Formalismus mit F ( t ) ) wie beim Mittelwertsatz. Wir betrachten außerdem den Spezialfall der McLaurin-Reihe (Entwicklungsstelle t = 0 ). Die McLaurin-Reihe F ( t ) lautet

F ( t ) = F ( 0 ) + t F ' ( 0 ) + t 2 2 ! F ' ' ( 0 ) +

Zunächst müssen also die Ableitungen gebildet werden:

Erste Ordnung
F ' ( t ) = h f x ( x 0 + t h , y 0 + t k ) + k f y ( x 0 + t h , y 0 + t k ) F ' ( 0 ) = h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 )
Zweite Ordnung
F ' ' ( t ) = h f x x ( x 0 + t h , y 0 + t k ) + k f y x ( x 0 + t h , y 0 + t k ) h + h f x y ( x 0 + t h , y 0 + t k ) + k f y y ( x 0 + t h , y 0 + t k ) k F ' ' ( 0 ) = h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 )

Einsetzen in die allgemeine Formel für die Reihenentwicklung ergibt

F ( t ) = f ( x 0 , y 0 ) + t h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + t 2 2 ! h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) +

Sei t = 1 , dann ist

f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + 1 2 ! h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) +

die allgemeine Form der Taylor-Reihe einer Funktion von zwei unabhängigen Variablen. Weiterhin können wir Folgendes feststellen:

Δ f = f ( x 0 + h , y 0 + k ) - f ( x 0 , y 0 ) = d f ( x 0 , y 0 ) + 1 2 ! d 2 f ( x 0 , y 0 ) + ,

und

d 2 f ( x 0 , y 0 ) = f x x ( x 0 , y 0 ) d x 2 + f x y ( x 0 , y 0 ) d x d y + f y y ( x 0 , y 0 ) d y 2

Den letzten Ausdruck nennt man zweites Differenzial von f ( x , y ) an der Stelle ( x 0 , y 0 ) . Der Gesamtzuwachs Δ f besteht also aus einem linearen Anteil (totales Differenzial), 1 / 2 ! -mal dem quadratischen Anteil und gegebenfalls noch Anteilen höherer Ordnung.

Seite 3 von 3>