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Mittelwertsatz und Taylor-Reihe für Funktionen mehrerer Variablen

Mittelwertsatz für Funktionen zweier Veränderlicher

Der Ausdruck

Δ z = f ( x 0 + h , y 0 + k ) - f ( x 0 , y 0 )

soll berechnet werden. Die Benutzung des totalen Differenzials liefert

Δ z d z = h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 )

mit h = d x und k = d y und damit den linearen Anteil des Gesamtzuwachses. Eine bessere Näherung erhält man durch Verwendung des Mittelwertsatzes. Es sei

x = x 0 + t h y = y 0 + t k .

Dann ist

F ( t ) = f ( x , y ) = f ( x 0 + t h , y 0 + t k ) F ( 1 ) = f ( x 0 + h , y 0 + k ) F ( 0 ) = f ( x 0 , y 0 ) .

Wie man sieht, haben wir durch diese Ersetzung eine Funktion F ( t ) gewonnen, die nur von einer Variablen t abhängt. Der Mittelwertsatz für eine Variable lautet

f ( x 0 + Δ x ) - f ( x 0 ) = Δ x f ' ( x 0 + ϑ Δ x ) , 0 < ϑ < 1.

Man erhält durch Einsetzen der Grenzen für ϑ eine untere und eine obere Grenze für den Zuwachs Δ y . Wenden wir diesen Satz auf F ( t ) an, so ergibt sich

F ( t ) - F ( 0 ) = t F ' ( 0 + ϑ t )

mit Δ x = t , x 0 = 0 , 0 < ϑ < 1 . Nach der Kettenregel ist

d F ( t ) d t = f ( x , y ) x d x d t + f ( x , y ) y d y d t

mit d x / d t = h , d y / d t = k . Daraus erhält man

d F ( t ) d t = h f x ( x 0 + t h , y 0 + t k ) + k f y ( x 0 + t h , y 0 + t k ) .

Ersetzt man t durch ϑ t , so ergibt sich

F ' ( ϑ t ) = h f x ( x 0 + ϑ t h , y 0 + ϑ t k ) + k f y ( x 0 + ϑ t h , y 0 + ϑ t k ) .

Sei t = 1 , dann ist

F ( 1 ) - F ( 0 ) = F ' ( ϑ ) = h f x ( x 0 + ϑ h , y 0 + ϑ k ) + k f y ( x 0 + ϑ h , y 0 + ϑ k )

und wir erhalten schließlich den Mittelwertsatz

f ( x 0 + h , y 0 + k ) - f ( x 0 , y 0 ) = h f x ( x 0 + ϑ h , y 0 + ϑ k ) + k f y ( x 0 + ϑ h , y 0 + ϑ k ) , 0 < ϑ < 1.

Die äußere Form des Mittelwertsatzes ist analog der des totalen Differenzials, jedoch nicht an der Stelle x 0 , y 0 , sondern verschoben um ϑ h bzw. ϑ k . Dadurch sind eine untere und eine obere Grenze angebbar, wenn man ϑ = 0 und ϑ = 1 in die Formel einsetzt.

Das totale Differenzial liefert dagegen nur einen Wert d z , dessen Abweichung vom tatsächlichen Wert Δ z nicht abschätzbar ist.

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