Mittelwertsatz und Taylorsche Reihe für Funktionen mehrerer Variablen - Einleitung

Bei einer Funktion einer Variable $\mathit{y}=\mathit{f}(\mathit{x})$ kann eine kleine Änderung $\Delta \mathit{y}$ auf drei Arten angenähert berechnet oder zumindest abgeschätzt werden. Dazu benutzen wir

1. das Differenzial $$\text{d}\mathit{y}=\mathit{f}\text{'}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}\approx \Delta \mathit{y}$$
2. den Mittelwertsatz $$\Delta \mathit{y}=\Delta \mathit{x}\cdot \mathit{f}\text{'}({\mathit{x}}_0+\vartheta \cdot \Delta \mathit{x})0<\vartheta <1,\text{unbekannt}$$
3. die Taylor-Reihe $$\Delta \mathit{y}=\mathit{f}({\mathit{x}}_0+\Delta \mathit{x})-\mathit{f}({\mathit{x}}_0)=\mathit{f}\text{'}({\mathit{x}}_0)\cdot (\mathit{x}-{\mathit{x}}_0)+\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)\cdot \frac{(\mathit{x}-{\mathit{x}}_0{)}^2}{2!}+\dots$$

Alle drei Ausdrücke sind auch für Funktionen mehrerer Variabler ableitbar. Dem Differenzial entspricht hier das totale Differenzial, das wir schon kennengelernt haben.

Wir wollen nun den Mittelwertsatz und die Taylor-Reihe für Funktionen zweier Variabler herleiten.