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Mittelwertsatz und Taylor-Reihe für Funktionen mehrerer Variablen

Mittelwertsatz und Taylorsche Reihe für Funktionen mehrerer Variablen - Einleitung

Bei einer Funktion einer Variable y = f ( x ) kann eine kleine Änderung Δ y auf drei Arten angenähert berechnet oder zumindest abgeschätzt werden. Dazu benutzen wir

  1. das Differenzial d y = f ' ( x ) d x Δ y
  2. den Mittelwertsatz Δ y = Δ x f ' ( x 0 + ϑ Δ x ) 0 < ϑ < 1 , unbekannt
  3. die Taylor-Reihe Δ y = f ( x 0 + Δ x ) - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 ) + f ' ' ( x 0 ) ( x - x 0 ) 2 2 ! +

Alle drei Ausdrücke sind auch für Funktionen mehrerer Variabler ableitbar. Dem Differenzial entspricht hier das totale Differenzial, das wir schon kennengelernt haben.

Wir wollen nun den Mittelwertsatz und die Taylor-Reihe für Funktionen zweier Variabler herleiten.

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