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Partielle Differenziation homogener Funktionen

Homogene Funktionen

Eine Funktion nennt man homogen vom Grad p , wenn für einen Parameter λ und eine Konstante p gilt

f ( λ x 1 , λ x 2 , , λ x N ) = λ p f ( x 1 , x 2 , , x N )
Theorem
Ist f ( x 1 , x 2 , , x N ) eine homogene Funktion p -ten Grades, dann gilt:
x 1 f x 1 + x 2 f x 2 + + x N f x N = p f .
Beweis

Man setzt u i = λ x i , i = 1 , 2 , , N und so erhält man

f ( u 1 , u 2 , , u N ) = λ p f ( x 1 , x 2 , , x N ) .

Nun nehmen wir die partielle Ableitung von beiden Seiten nach λ vor. Die linke Seite ergibt

f λ = i = 1 N f u i u i λ = i = 1 N x i f u i

und die rechte Seite ergibt

λ λ p f ( x 1 , x 2 , , x N ) = p λ p - 1 f .

Es ist dann

i = 1 N x i f u i = p λ p - 1 f .

Schließlich setzt man λ = 1 und es folgt der Satz von Euler:

i = 1 N x i f x i = p f .
Beispiel

Sei f ( x , y ) = x 2 + 2 x y , dann

f ( λ x , λ y ) = ( λ x ) 2 + 2 ( λ x ) ( λ y ) = λ 2 ( x 2 + 2 x y ) = λ 2 f ( x , y ) ,

also ist f ( x , y ) eine homogene Funktion zweiten Grades.

f x = 2 ( x + y ) ; f y = 2 x
x f x + y f y = 2 x ( x + y ) + 2 x y = 2 ( x 2 + 2 x y ) = 2 f ( x , y )  .
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