zum Directory-modus

Partielle Differenziation impliziter Funktionen

Partielle Ableitungen nach konstanten Variablen

Wir interessieren uns jetzt dafür, wie die partiellen Ableitungen für jeweils verschiedene konstant gehaltene Variablen miteinander zusammenhängen.

Sei eine implizite Relation zwischen drei Variablen gegeben, d.h.

F ( x , y , z ) = 0.

Nun können wir die möglichen partiellen Ableitungen herleiten. Man kann in einem solchen Fall eine Variable als abhängig von den anderen beiden betrachten, was z.B. zu der expliziten Darstellung x = f ( y , z ) führt. Aus dem Ausdruck

d F = F x d x + F y d y + F z d z = 0

mit konstantem y , d.h. d y = 0 , folgt

x z y = - F z F x ,

und bei konstantem z ist d z = 0 und folglich

x y z = - F y F x .

Zwei andere Fälle sind möglich, nämlich wenn y und schließlich z als die abhängigen Variablen betrachtet werden. Aus y = g ( x , z ) folgt

y x z = - F x F y ; y z x = - F z F y

und aus z = h ( x , y ) folgt

z x y = - F x F z ; z y x = - F y F z .

Die Gleichungen können wie folgt zusammengefasst werden:

x y z = - ( F / y ) x , z ( F / x ) y , z = 1 ( y / x ) z z x y = - ( F / x ) y , z ( F / z ) x , y = 1 ( x / z ) y y z x = - ( F / z ) x , y ( F / y ) x , z = 1 ( z / y ) x .

Wenn man je zwei dieser Gleichungen miteinander multipliziert, so ergeben sich drei mögliche Produkte:

x y z z x y = - z y x x y z y z x = - x z y z x y y z x = - y x z .

Wenn man alle drei Gleichungen miteinander multipliziert, so erhält man

x y z z x y y z x = - 1.

Partielle Ableitungen nach anderen konstanten Variablen

Sei z = f ( x , y ) und u = g ( x , y ) gegeben. Eswäre wünschenswert partielle Ableitungen von z zu berechnen, wobei u festgehalten wird. Aus d z = f x d x + f y d y folgt

z x u = f x y + f y x y x u .

Da u als konstant behandelt wird, können wir schreiben

d u = g x d x + g y d y = 0 y x u = - g x g y .

Wir substituieren diesen Ausdruck für ( y / x ) u und erhalten

z x u = f x - f y g x g y .
Beispiel

Sei z = f ( x , y ) = x y und u = g ( x , y ) = x 2 + y 2 . Man bestimme ( y / x ) u .

f x = y , f y = x , g x = 2 x , g y = 2 y
z x u = f x - f y g x g y = y - x 2 x 2 y = y - x 2 y .
Seite 2 von 2>