zum Directory-modus

Partielle Differenziation impliziter Funktionen

Differenziation impliziter Funktionen

Wir betrachten eine Gleichung der Form

F ( x , y ) = 0.

In vielen Fällen ist es möglich, die Gleichung nach y aufzulösen, so entsteht die allgemeine Form

y = f ( x ) .

Zur Unterscheidung beider Formen wird F ( x , y ) als die implizite Darstellung und y = f ( x ) als die explizite Darstellung dieser Funktion bezeichnet.

Beispiel

Die implizite Gleichung F ( x , y ) = x - cos y = 0 lässt sich in expliziter Form y = f ( x ) = cos - 1 x darstellen

Beispiel

Die Gleichung F ( x , y ) = sin y + x ln x + y = 0 lässt sich nicht in expliziter Form y = f ( x ) darstellen.

Man kann allgemein erkennen, ob eine Gleichung der Form F ( x , y ) = 0 auflösbar nach y ist, mit Hilfe der graphischen Darstellung der Funktion z = F ( x , y ) . Wenn die Fläche z = F ( x , y ) die Ebene z = 0 nicht schneidet, dann gibt es keine Wertpaare von x und y , die die Gleichung F ( x , y ) = 0 erfüllen. Das ist der Fall, wenn die Fläche vollständig im unteren oder oberen Halbraum liegt.

Theorem
Gibt es einen Punkt x 0 , y 0 , für den gilt F ( x 0 , y 0 ) = 0 und ist zusätzlich die Bedingung
F y ( x 0 , y 0 ) 0
erfüllt, so definiert die Gleichung F ( x , y ) = 0 mindestens in einer kleinen Umgebung von x 0 , y 0 eine stetige und differenzierbare Funktion y = f ( x ) .
Abb.1
Implizite Darstellung einer Funktion

Man berechnet dy/dx, indem man die totale Ableitung von F nach x bildet

d F d x = F x x x + F y y x = 0.

Wegen x / x = 1 und y / x = d y / d x folgt daraus

y ' = d y d x = - F x ( x , y ) F y ( x , y ) .

Man kann diese Gleichung benutzen, um Funktionen in impliziter Darstellung abzuleiten. Bei Gleichungen, die man nicht explizit nach y auflösen kann, ist es der einzige Weg der Differenziation.

Beispiel

Die Funktion

F ( x , y ) = sin y + x ln x + y = 0

hat die Ableitung

d y d x = - F x F y = - ln x + 1 cos y + 1 .

Bei auflösbaren Gleichungen ist die Differenziation der impliziten Gleichung einfacher als bei der expliziten Darstellung.

Beispiel

Man differenziert die Funktion y = f ( x ) = ± ( x 2 - a 2 ) 1 / 2 einfacher, indem man die Ableitung der impliziten Darstellung F ( x , y ) = x 2 + y 2 - a 2 = 0 bildet:

d y d x = - F x F y = - 2 x 2 y = - x y .

Implizite Funktionen von N Variablen

Betrachten wir jetzt eine Funktion mehrerer Variabler z = f ( x 1 , x 2 , , x N ) , deren implizite Darstellung lautet

F ( x 1 , x 2 , , x N , z ) = 0.

Das totale Differenzial von F lautet

d F = i = 1 N F x i d x i + F z d z = 0 ,

wobei das totale Differenzial von z ist

d z = i = 1 N z x i d x i .

Dann haben wir

d F = i = 1 N F x i + F z z x i d x i = 0

und wegen d x i 0 folgt

F x i + F z z x i = 0

oder

z x i = - F / x i F / z .
<Seite 1 von 2