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Kettenregel für Funktionen mehrerer Variablen

Eindeutigkeit partieller Ableitungen

Betrachten wir folgenden Fall:

v = F ( x , y , z ) ; z = f ( x , y , t ) .

Zusammenfassen ergibt

v = G ( x , y , t )  .

Soll man nun die partielle Ableitung v / x bilden, so ist diese Aufgabe nicht eindeutig zu lösen, denn man könnte sowohl F / x als auch G / x bilden.

Zur Erreichung der Eindeutigkeit benötigen wir noch die Angabe, welche Größen bei der Ableitung konstant gehalten werden sollen.

Man schreibt

v x y , z = F x y , z  konstant v x y , t = G x y , t  konstant.
Beispiel
v = x 2 y ln z , z = ( x - t ) / y .

Dann ist

v x y , z = 2 x y ln z v x y , t = x x 2 y ln ( x - t ) - ln y y , t = 2 x y ln x - t - ln y + x 2 y x - t = 2 x y ln z + x 2 z  .

Den Zusammenhang zwischen den beiden partiellen Ableitungen erhält man durch die folgende Beobachtung.

Das totale Differenzial dv ist

d v = v x y , z d x + v y x , z d y + v z x , y d z ,

daher ist die Ableitung

v x y , t = v x y , z x x y , t + v y x , z y x y , t + v z x , y z x y , t .

Es ist

x x y , t = 1 , y x y , t = 0.

Die Differenz der partiellen Ableitungen ist also

v x y , t - v x y , z = v z x , y z x y , t .

In unserem Beispiel ist

v z x , y = x 2 y z , z x y , t = 1 y ,

d.h. die Differenz der partiellen Ableitungen

v x y , t - v x y , z = x 2 y z 1 y = x 2 z .

Ein Vergleich mit der Rechnung zeigt die Richtigkeit.

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