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Kettenregel für Funktionen mehrerer Variablen

Die Kettenregel für mittelbare Funktionen

Sei z = f ( x 1 , x 2 , , x N ) eine Funktion von N Variablen, wobei x 1 , x 2 , , x N selbst wieder Funktionen von M weiteren Variablen u 1 , u 2 , , u M sind,

z = f ( x 1 , x 2 , , x N ) = f ( g 1 ( u 1 , u 2 , , u M ) , g 2 ( u 1 , u 2 , , u M ) , , g N ( u 1 , u 2 , , u M ) ) = F ( u 1 , u 2 , , u M ) .

Das totale Differenzial lautet

d z = i = 1 N f x i d x i ,

wobei

d x i = j = 1 M g i u j d u j .

Es ist dann

d z = i = 1 N f x i j = 1 M g i u j d u j = j = 1 M z i u j d u j .

Für die partiellen Ableitungen von z nach den einzelnen u j gilt

z i u j = i = 1 N f x i x i u j  .

Sei z = f ( x , y ) z.B. eine mittelbare Funktion von u und v ,

z = f ( x , y ) = f ( g ( u , v ) , h ( u , v ) ) = F ( u , v ) .

Dann ist

z u = z x x u + z y y u z v = z x x v + z y y v  .
Beispiel

Sei z = e - x cos y mit x = u 2 - v und y = u + v 2 . Die Gleichungen ergeben in diesem Fall

z u = - e - x cos y 2 u - e - x sin y = - e - x ( 2 u cos y + sin y ) z v = e - x cos y 1 - e - x sin y 2 v = e - x ( cos y - 2 v sin y )  .

Wenn ( x 1 , x 2 , , x N ) nur von einer einzigen Variablen u abhängen, lautet die totale Ableitung

d z d u = i = 1 N f x i d x i d u .
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