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Kettenregel für Funktionen mehrerer Variablen

Differenziation mittelbarer Funktionen

Sei z = f ( x , y ) eine Funktion zweier Variablen x und y . Manchmal tritt der Fall auf, dass x und y nicht unabhängige Variablen sind. Zum Beispiel bestimmt die Relation x 2 + y 2 = a 2 eine Abhängigkeit zwischen x und y , die einen Kreis vom Radius a darstellt. Dieser Kreis lässt sich von einem unabhängigen Parameter ϕ wie folgt darstellen

x = a cos ϕ y = a sin ϕ 0 ϕ < 2 π

und damit x = x ( ϕ ) und y = y ( ϕ ) . Hier ist z eine mittelbare Funktion von ϕ .

Eine Funktion z = f ( x , y ) mit einer Abhängigkeit zwischen x und y stellt eine Kurve dar, die auf einer Fläche verläuft.

Abb.1
Grafische Darstellung einer mittelbaren Funktion

Die totale Ableitung einer mittelbaren Funktion

Sei u ein unabhängiger Parameter. Wenn x = x ( u ) und y = y ( u ) , so wird die Funktion z = f ( x , y ) selbst eine mittelbare Funktion von u , also

z = f ( x , y ) = f ( x ( u ) , y ( u ) ) = F ( u ) .

Aus dem Zuwachs

Δ z = f x Δ x + f y Δ y + ɛ 1 Δ x + ɛ 2 Δ y

folgt

Δ z Δ u = f x Δ x Δ u + f y Δ y Δ u + ɛ 1 Δ x Δ u + ɛ 2 Δ y Δ u .

Für Δ u 0 haben wir Δ x 0 , Δ y 0 , ɛ 1 0 , ɛ 2 0 und Δ x / Δ u d x / d u , Δ y / Δ u d y / d u , Δ z / Δ u d z / d u . Daraus folgt die totale Ableitung von z nach u , die durch das Symbol F ' ( u ) gekennzeichnet wird

d z d u = f x d x d u + f y d y d u = F ' ( u )  .
Beispiel

Man berechne die totale Ableitung der Funktion z = exp ( x y ) mit x = a cos ϕ , y = a sin ϕ .

d z d ϕ = f x d x d ϕ + f y d y d ϕ = y e x y ( - a sin ϕ ) + x e x y ( a cos ϕ ) = a e x y ( cos 2 ϕ - sin 2 ϕ ) .

Im Sonderfall, dass x ( u ) = x , d.h. z = f ( x , y ( x ) ) , erhält man

d z d x = f x + f y d y d x  .
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