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Totale Differenziale

Differenziale höherer Ordnung

Die Differenziale zweiter, dritter und höherer Ordnung sind definiert durch

d 2 f = d ( d f ) , d 3 f = d ( d 2 f ) , , d n f = d ( d n - 1 f ) .

Das Differenzial erster Ordnung für eine Funktion z = f ( x , y ) lautet

d f = f x d x + f y d y .

Daraus erhält man das Differenzial zweiter Ordnung

d 2 f = d ( d f ) = d f x d x + f x d 2 x + d f y d y + f y d 2 y .

Nun sind aber

d f x = f x x d x + f x y d y d f y = f y x d x + f y y d y .

Sind x und y unabhängige Variablen, so ist d 2 x = d 2 y = 0 . Mit Hilfe des Satzes von Schwarz ist f x y = f y x und wir erhalten schließlich

d 2 f = f x x ( d x ) 2 + 2 f x y d x d y + f y y ( d y ) 2  .
Beispiel

f ( x , y ) = x 2 - 2 x y - 3 y 2 besitzt folgendes Differenzial zweiter Ordnung:

d 2 f = 2 ( d x ) 2 - 2 d x d y - 6 ( d y ) 2  .

Allgemeiner Fall

Für eine Funktion z = f ( x 1 , x 2 , , x N ) von N Variablen gilt

d z = n = 1 N d x i f x i x j i .

Das Differenzial n -ter Ordnung ist dann

d n z = n = 1 N d x i x i n z .

Für Funktionen zweier Variabler ist

d n z = d x x + d y y n z = i = 1 n n i n z x i y n - i d x i d y n - i ,

wobei

n i = n ! i ! ( n - i ) !  .
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