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Totale Differenziale

Differenziale erster Ordnung

Im Vorangegangenen (siehe Empfehlung Grundbegriffe der partiellen Ableitungen) betrachteten wir die Änderung der Funrundbegriffe der partiellen Ableitungenktion z = f ( x , y ) , wenn eine unabhängige Variable geändert und die andere festgehalten wurde. Daraus folgten die partiellen Ableitungen f x und f y . Nun untersuchen wir den Fall, wenn beide unabhängige Variablen gleichzeitig geändert werden.

Ist z = f ( x , y ) eine im Punkt P ( x , y ) differenzierbare Funktion, so existiert eine Tangentialebene an der Stelle ( x , y ) . Wenn x um Δ x und y um Δ y geändert wird, dann ändert sich z um Δ z , also

Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) - f ( x , y ) .

Da der Punkt Q ( x + Δ x , y + Δ y ) auf der Fläche z = f ( x , y ) liegt, ist Δ z der Zuwachs auf der Fläche. Siehe (Abb. 1) Abbildung.

Abb.1
Der Zuwachs auf der Fläche

Entsprechend lautet der Zuwachs auf der Tangentialebene

d z = f x d x + f y d y

Der Punkt ( x + d x , y + d y , z + d z ) liegt auf der Tangentialebene und i.Allg. nicht auf der Fläche selbst. Man nennt d z das totale oder exakte Differenzial der Funktion z = f ( x , y ) .

Theorem
Besitzt die Funktion z = f ( x , y ) stetige partielle Ableitungen erster Ordnung im Bereich R , dann ist
Δ z = f x Δ x + f y Δ y + ɛ 1 Δ x + ɛ 2 Δ y ,
wobei ɛ 1 0 , ɛ 2 0 für Δ x 0 , Δ y 0 . Wenn Δ x und Δ y klein sind, dann ist Δ z d z .
Beispiel

Gegeben sei die Funktion z = f ( x , y ) = a x 2 + b x y + c y 2 . Das totale Differenzial d z ist gegegeben durch

d z = f x d x + f y d y = ( 2 a x + b y ) d x + ( b x + 2 c y ) d y .

Wenn x um Δ x und y um Δ y geändert wird, dann erhält man

f ( x + Δ x , y + Δ y ) = a ( x + Δ x ) 2 + b ( x + Δ x ) ( y + Δ y ) + c ( y + Δ y ) 2  .

Der entsprechende Zuwachs Δ z auf der Fläche z = f ( x , y ) lautet

Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) - f ( x , y ) = ( 2 a x + b y ) Δ x + ( b x + 2 c y ) Δ y + a ( Δ x ) 2 + b Δ x Δ y + c ( Δ y ) 2 = f x Δ x + f y Δ y + a ( Δ x ) 2 + b Δ x Δ y + c ( Δ y ) 2  .

Für Δ x , Δ y klein gilt

Δ z f x Δ x + f y Δ y

und so ist Δ z d z .

Funktionen von N Variablen

Das totale Differenzial für eine Funktion z = f ( x 1 , x 2 , , x N ) von N unabhängigen Variablen lässt sich auch definieren:

d z = f x 1 x n 1 d x 1 + f x 2 x n 2 d x 2 + + f x N x n N d x N = n = 1 N f x n x m n d x n .

Dieser Ausdruck gilt auch, wenn die Variablen voneinander abhängig sind.

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